G216重积分的应用.ppt
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1、1,寄 语,假舟楫者,非能水也,而绝江河。,假舆马者,非利足也,而致千里;,-旬子,2,第21章,第一节、二重积分概念,第三节、格林公式-曲线积分与路线的无关性,重积分,第21章,本章内容:,第二节、直角坐标系下二重积分的计算,第四节、二重积分的变量替换,第五节、三重积分,第六节、重积分的应用,第七节、第八节、第九节-N重积分;反常二重积分;变量替换公式证明-略去,3,第6节 重积分的应用,一、立体体积,二、曲面的面积,第21章,本节内容:,三、物体的重心,四、物体的转动惯量,五、物体的引力,4,1. 能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性,从积分定义出发 建立积分式,用微
2、元分析法 (元素法),分布在有界闭域上的整体量,3. 解题要点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2. 用重积分解决问题的方法,5,一、立体体积(补充),1. 曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,3.占有空间有界域 的立体的体积为,6,任一点的切平面与曲面,所围立体的体积 V .,解: 曲面,的切平面方程为,它与曲面,的交线在 xoy 面上的投影为,(记所围域为D ),在点,例1. 求曲面,7,例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的,内接锥面所围成的立体的体积(如图).,解: 在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,8,二、曲面的面积,设光滑曲面,则面积 A
3、 可看成曲面上各点,处小切平面的面积 d A 无限积累而成.,设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素),则,9,故有曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,10,若光滑曲面方程为,若光滑曲面方程为隐式,则,则有,且,若光滑曲面方程由参数方程给出,也有相应的计算公式。参见P253254。略。,11,例3,求圆锥,在圆柱体,内那部分的面积。(P253 例1),解:根据面积公式,其中,D:,所求曲面方程为,所以,,12,例4. 计算双曲抛物面,被柱面,所截,解: 曲面在 xoy 面上投影为,则,出的面积 A .(补充),13,例5. 计算半径为 a 的球的表面积.,解:,设球面方程为,球面面
4、积元素为,方法2 利用直角坐标方程.练习,方法1 利用球坐标方程.,注意:本例是 P254 例2 的特例。,14,三、物体的重心,设空间有n个质点,其质量分别,由力学知, 该质点系的重心坐标为,设物体占有空间域 ,有连续密度函数,则,公式 ,分别位于,为,即:,采用 “分割, 近似代替, 求近似和, 取极限” 可导出其重心,15,将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点,例如,令各小区域的最大直径,系的重心坐标就近似该物体的重心坐标.,的质点,即得,此质点,在第 k 块上任取一点,16,同理可得,则得形心坐标:,17,若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积)
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