最优控制与状态估计7.ppt
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1、第一部分、最优控制,什么是最优控制?以下通过例子来说明,问题 1:,电动机的运动方程为,(1),其中, 为转矩系数; 为转动惯量; 为恒定的负载转矩;,希望:在时间区间0,tf内,电动机从静止起动,转过一定角度 后停止,使电枢电阻 上的损耗 最小,求,因为 是时间的函数,E 又是 的函数,E 是函数的函数,称为泛函。,(2),采用状态方程表示,令,于是,(3),初始状态,末值状态,控制 不受限制,本问题的最优控制问题是:在数学模型(3)的约束下,寻求一个控制 ,使电动机从初始状态转移到末值状态,性能指标E 为最小。,初始状态,末值状态,最优控制问题的一般性提法为,系统状态方程为,初始状态为,其
2、中,x 为n 维状态向量; u 为r 维控制向量; f 为n 维向量函数,它是 x 、u 和t 的连续函数,并且对x 、t 连续可微。,最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。,第一章、用变分法求解最优控制问题,一、泛函与变分,1、泛函的基本定义:,如果对于某个函数集合 中的每一个函数 ,变量J 都有一个值与之对应,则称变量J 为依赖于函数 的泛函,记作,可见,泛函为标量,可以理解为“函数的函数”,当 时,有 ;当 时,有 。,泛函 如果满足以下条件时,称为线性泛函:,1) ,其中c 为任意常数; 2),对于一个任意小正数 ,总是可以找到 ,当 时,有 就称泛函 在 处是连续的
3、。,3、泛函变分的规则,1),2),3),4),泛函的变分等于,4、泛函的极值,设 是在线性赋泛空间 上某个子集D 中的线性连续泛函, ,若在 的某邻域内,为了判别是极大还是极小,要计算二阶变分 。但在实际问题中根据问题的性质容易判别是极大还是极小,故一般不计算 。,定理:设 是在线性赋泛空间 上某个开子集D 中定义的可微泛函,且在 处达到极值的必要条件是对于 在 处必有泛函,欧拉方程:,定理:设有如下泛函极值问题: 其中, 及 在 上连续可微, 和 给定, 已知 , , ,则极值轨线 满足如下欧拉方程,及横截条件,注意:满足欧拉方程是必要条件,不是充分条件。,证明:让自变量函数 、 在极值曲
4、线 、 附近发生微小变分 、 ,即,上式中 是高阶项。,于是泛函J 的增量 可计算如下(以下将*号省去),根据定义,泛函的变分 是 的线性主部,即,对上式第二项作分部积分,按公式,J 取极值的必要条件是 等于零。因 是任意的,要使上式中第一项(积分项)为零,必有,上式称为欧拉拉格朗日方程。,第二项为零,就有,二、用变分法求解最优控制问题,1 末值时刻固定、末值状态自由情况下的最优控制,非线性时变系统状态方程为,(6),初始状态,(7),其中,x 为n 维状态向量; u 为r 维控制向量; f 为n 维向量函数。,引入拉格朗日乘子,(9),将性能指标(8)式改写为其等价形式,(12),对(11)
5、式中的第三项进行分部积分,得,当泛函J 取极值时,其一次变分等于零。 即,可以变分的量:,不可以变分的量:,求出J 的一次变分并令其为零,将上式改写成,(13),由于 未加限制,可以选择 使上式中 和 的系数等于零。于是有,(15),(14),(16),(14)式称为伴随方程, 为伴随变量,(17)式为控制方程。,几点说明:,1)实际上,(14)式和(17)式就是欧拉方程。,(18),因为,(19),可见(21)式和(18)式相同,(22)式和(19)式相同。因此,(14)式和(17)就是欧拉方程,而(7)式和(15)就是横截条件。,(22),2) 是泛函取极值的必要条件是否为极小值还需要二次
6、变分 来判断, 则泛函J 取极小值。,3) 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化率,在最优控制 、最优轨线 下,有 和,(23),即哈密顿函数H 沿最优轨线对时间的全导数等于它对时间的偏导数。记为 则,(25),当哈密顿函数不显含 t 时,由(25)式得,因为,将 代入状态方程,解为,当 时,代入上式,求得 ,所以,当 时,,最优性能指标为,2 末值时刻固定,末端状态固定情况下的最优控制,非线性时变系统状态方程为,(27),寻求最优控制 ,在 内,将系统从 转移到 ,同时使性能指标J 取极小值。,(性能指标如(30)式所示的最优控制问题,是变分法中的拉格朗日问题),引入哈密顿函数,其中,于是,因为
7、,对上式右边第2项进行分部积分,可以得到,上式中可以变分的量:,不可以变分的量:,令性能指标J 的一次变分等于零,得,(31),在末端状态固定情况下, 不是任意的。只有在系统能控的情况下,才有控制方程,例 2 问题 1的系统状态方程为,末值状态,初始状态,性能指标,设,最优控制问题就是在状态方程的约束下,寻求 ,使 转移到 ,并使J 取极小值。,解 根据能控性判据知,该系统是能控的,1)哈密顿函数为,3)由伴随方程 ,得到,( , 为积分常数),4)由状态方程得,( , 为积分常数),根据边界条件,确定积分常数,得,代入 和,它们的曲线如图所示,(图中 ,实线是理论上的变化,虚线是实际的轨线。
8、),3 末值时刻自由情况下的最优控制,非线性时变系统状态方程为,初始状态,初始时刻 固定,末值时刻 是自由的。 自由,性能指标,(34),于是,可以变分的量,不能变分的量,上式中H 为 的简化表示,应当注意,末值时刻 自由时, 不等于,或,上式代入(35)式,性能指标取极值时,必有,(36),(38),(40),(41),而,2)由控制方程 ,得,或,3)由伴随方程,5)由于 自由, ,得到,或,解得,第二章、用极小值原理求解最优控制问题,一、 问题的提出,用变分法求解最优控制时,认 为控制向量 不受限制。但是 实际的系统,控制信号都是受到 某种限制的。,因此,应用控制方程 来确定最优控制,可
9、能出错。,a)图中所示,H 最小值出现在左侧,不满足控制方程。 b)图中不存在,二、 极小值原理,非线性定常系统的状态方程为,(42),初始时刻 ,初始状态 ,末值时刻 ,末端状态 自由,(43),以下就是用极小值原理解前面的问题:,设 为容许控制, 为对应的状态轨线。为了使它们分别成为最优控制 和最优轨线 ,存在一个向量函数 ,使得,(45),(46),则哈密顿函数H 相对最优控制取极小值,即,(50),几点说明:,1)极小值原理给出的只是最优控制应该满足的必要条件。,2)极小值原理的结果与用变分法求解最优问题的结果相比,差别仅在于极值条件。,4)非线性时变系统也有极小值原理。,3)这里给出
10、了极小值原理,而在庞德里亚金著作论述的是极大值原理。因为求性能指标J的极小值与求J的极大值等价。,三、 二次积分模型的快速控制,在问题 2 中,若 , ,令 。就是二次积分模型。,要求在状态方程约束下,寻求满足(55)式的最优控制 ,使系统从 转移到 ,同时使J 取极小值。,因为在这个最优控制问题中,控制信号 受限制,因此用极小值原理来求解。系统是能控的,其解存在且唯一。,3)伴随方程为,如果 的初始值为 , ,则,(62),(63),在0, 内最多变号一次,最优控制函数有以下可能的4种情况,4)由状态方程可知,当 时,求得,消去t 得,或写成,为了形象地表示系统的运动形态,引用相平面方法,画
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