Jordan标准形简介.ppt
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1、,线性代数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,教学目的:通过本节的教学使学生更深刻理解方阵相 似对角矩阵的内涵,了解不能相似于对角矩阵的方阵可相似 于Jordan标准形.,教学要求:正确理解Jordan标准形的概念,掌握求一个方阵的初等因子组和化Jordan标准形的方法.,教学重点:求一个方阵的初等因子组和化Jordan标准形的方法.,教学难点:化方阵为Jordan标准形.,教学时间:2学时.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,*6 Jordan标准形简介,第五章,*6 Jordan标准形简介,我们在讨论方阵的对角化时知道,并不是所有的方阵都 能化成对角阵,那末,在普遍意义上,矩阵在相似关
2、系下的最简 形是否存在?如果存在又取何种形式?Jordan标准形的相关 结果就完美地回答了这一问题.,Jordan标准形理论的建立需要较多的其它代数知识.限 于需要和可能,我们仅从实用的角度介绍Jordan标准形理论 的主要结果及Jordan标准形的具体求法.,6.1多项式矩阵及其初等变换,定义6.1 如果矩阵中每个元素都是变量的多项式,则称该多项式为的多项式矩阵,简称-矩阵.,元素是数的矩阵称为数元矩阵,数元矩阵是特殊的多 项式矩阵.,第五章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义6.2 对多项式矩阵A()的如下三种变换统称为初等变换.,i)用一个非零数k乘A()的某行(列);,ii)将A
3、()中的某行(列)的g()倍加于另一行(列)(其中g()是的多项式);,iii)互换A()的两行(列).,定义6.3 设A()和B()是两个同型的多项式矩阵,如果A()可以经过有限次初等变换化为B(),则说A() 与B()等价,记作A() B().,对于n阶数元矩阵A,其特征矩阵E-A是一个特定的多项式矩阵.关于特征矩阵有如下的结论.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理6.1 对于n阶数元矩阵A ,总有,其中g1(), g2(), gn()都是首项系数为1的多项式.并且,|E-A|= g1() g2() gn(). (*),由于E-A经过有限次的初等变换得到G(),根据初等变换对矩阵相应
4、行列式的影响,可知|G()|与|E-A|最多相差非零常数倍.再注意到|G()|与|E-A|都是首项系数为1的多项式,便知(*)成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义6.4 对于n阶数元矩阵A ,设E-A经过初等变换化为对角矩阵G().将g1(), g2(), gn()中的每个非常数多项式做复数域上的标准分解,各分解式中的每一个一次因式方幂称为矩阵A的一个初等因子,初等因子的全体成为A的初等因子组.,例如,对于2阶数元矩阵A,若有,则A的初等因子组为, , -1, ,( -1)2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由定义6.4 及(*)知:,1)方阵A的所有初等因子的乘积就是A的特
5、征多项式;,2)每个初等因子都和矩阵A的某个特征值相应,即如果 是A的一个初等因子,则i一定是A的一个特征值;,3)n阶方阵A的所有初等因子幂次之和恰为n.,在此必须指出:方阵A与某一特征值相应的初等因子未必只有一个.因此,一般不能从A的特征多项式的标准分解式,直接得到初等因子组为,为求给定方阵A的初等因子组,需要对特征矩阵E-A 进行适当的初等变换将其化为对角矩阵.这样的对角矩阵并 不惟一.由此会不会导致初等因子组的不同呢?可以证明, 在不计各初等因子组相互次序的意义下,给定方阵A的初 等因子组是惟一的,不会因为E-A所化成的对角矩阵不同 而有所改变.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例
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