§5.2化二次型为标准形.ppt
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1、1,设,5.2.1、二次型的变量替换,对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求 可逆的线性变换,将二次型化为标准形,5.2 化二次型为标准形,2,证明,即 为对称矩阵.,3,说明,4,定义 设A,B都是n 阶方阵,如果存在可逆阵C , 使CTAC=B,则称A与B合同,记成AB.此时也称矩阵A经过合同变换化为矩阵B.,合同关系具有以下性质:(证明见P217) (1)自反性:A A . (2)对称性:若 A B则 B A. (3)传递性:若 A B , B C则 A C . (4)A与B合同,则r(A)=r(B) .,合同等价,合同等秩,反之都不成立但不等秩,则一定不合同.,矩阵合同的定义与矩阵相似
2、的定义很类似,也是n阶方阵之间的一种等价关系. 即,5,5.2.2、用配方法化二次型为标准型,问题 有没有其它方法,也可以把二次型化 为标准形?,问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法拉格朗日配方法,用线性变换化二次型为标准形,等价于二次型的矩阵经合同变换化为对角阵由上一章可知对称矩阵可经正交变换化为对角阵,6,1. 若二次型含有 的平方项,则先把含有 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量同 样进行,直到都配成平方项为止,经过非退化线 性变换,就得到标准形;,拉格朗日配方法的步骤,2. 若二次型中不含有平方项,但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方
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- 5.2 二次 标准
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