大学物理05刚体的转动(最新).ppt
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1、,第五章 刚体的转动,5-1 刚体的平动、转动和定轴转动 5-2 力矩 转动定律 转动惯量 5-3 转动动能 力矩的功 5-4 角动量 角动量守恒定律,理解描述刚体定轴转动的基本物理量的定义和性质; 理解力矩、转动动能和转动惯量的物理意义; 掌握定轴转动的转动定律和角动量定理; 掌握定轴转动的机械能守恒定律和角动量守恒定律。,教学要求,5-1 刚体的平动、转动和定轴转动 一、刚体(理想模型),刚体上的任一直线,在各时刻的位置始终保持彼止平行的运动,叫做平动。如车刀、活塞等。因为在平动时刚体上所有点的运动轨迹都相同,各时刻各个质点的位移、速度、加速度都相同,所以可当作质点来处理。,二、平动和转动
2、(刚体的二种基本运动形态) 1、平动,在任何外力作用下,形状大小均不发生改变的物体称为刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变。,说明:,1. 理想模型; 2. 在外力作用下,任意两点间均不发生相对位移; 3. 内力无穷大的特殊质点系。,下面再看一个平动演示。,平 动,如果刚体上的任意一条直线的方位在运动中变了,则称刚体作转动。转动的轴线可变也可不变,若轴线固定不动,则称定轴转动。作定轴转动的刚体上的各点,在运动中都绕同一转轴作不同半径的圆周运动。而且,刚体上各点在相同时间内转过相同的角度。,2、转动,刚体的一般运动可视为平动和转动的合成运动。 如,滚动轴心的平动+绕轴心的转动,抛体质心的抛物
3、线运动+绕质心的转动,进动绕转轴转动+转轴绕定轴的转动,描述刚体定轴转动的物理量,1. 角位置,角位移,运动方程:,角位置 :位矢与 ox 轴夹角。,角位移 d :dt 时间内角位置增量。,1、刚体上各质点的角位移,角速度和角加速度均相同; 2、各质点都在垂直转轴的平面内运动,且作圆周运动。圆心在转轴上。,三、定轴转动 刚体的定轴转动特点:,3. 线量与角量的关系,方向垂直 和 组成的平面,2. 角速度和角加速度,定轴转动只有两个转动方向。,规定:,位矢从o x 轴逆时针方向转动时角位置 为正,反之,为负。,若 是定值,刚体的运动称为:,若 是定值,刚体的运动称作:,匀角速转动,匀变速转动(或
4、匀加速转动),刚体的定轴转动的公式与一维直线运动的公式相似:,为恒矢 为恒值,例1、一飞轮作减速运动,其角加速度与角速度关系为 ,k为比例系数,设初始角速度为 。求: 飞轮角速度与时间的关系; 当角速度由 时,在此时间内飞轮转过的圈数。,解:,在此时间内车轮转过的圈数=,一、力矩 1、定义: 转轴到力的作用点的矢径与作用力的叉积。,力矩的表示式:,大小:,2、注意:合力矩 合力的力矩 合力矩=力矩的和 (矢量和) (对定轴转动而言为代数和) 合力为零,合力矩不一定为零,方向:,5-2 力矩、转动定律、转动惯量,合力矩为零,合力不一定为零,力不在垂直于转轴的平面内, 只有 对转轴力矩有贡献。,问
5、:一对作用力与反作用力的力矩和等于多少?,零,由此推知:质点组对任一轴的内力矩之和为零。,力矩: 合力:,中心力(过转轴的力)的 力矩0,如推门。,定点力矩:,垂直 和 构成的平面。,定轴力矩:,合力矩:,M 只有两个方向,可用正、负表示。,而且有:,与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩; 与转轴平行的力对转轴不产生力矩; 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。,归结起来:,二、转动定律 力矩是改变转动状态的原因,是产生角加速度的原因。 转动物体也有保持原有转动状态不变的惯性,在一定力矩作用下,转动惯性大的物体获得的角加速度小,反之则大。所以,物体的角加速度与力矩成正比,与转动惯性成反比。若
6、用J 表示转动惯性(J 称为转动惯量)则有:,在国际单位制中,k = 1 则上式为,它说明了力矩的瞬时作用规律。什么时刻有力矩作用于物体,物体什么时刻就有角加速度。转动定律相当重要,其在转动中的地位就相当于平动中的牛顿第二定律。,把刚体看作质元 的集合,对 用牛顿第二定律的切向式与法向式。 设一刚体绕定轴转动,某质元受内力和外力作用,转动定律可由牛顿第二定律推求: 推导的基本思想:,矢量式: 法向式: 切向式:,对整个刚体:,以 遍乘切向式:,刚体所受的合外力矩 :,(内力不改变动量),定义:,转动定律,说明:(1)M, J, 均对同一轴而言,且具有瞬时性; (2)改变刚体转动状态的是力矩;
7、(3)转动惯量是刚体转动惯性的度量。,-转动惯量,牛顿第二定律与转动定律的对应关系,物理量:质点 m 刚体 J,M,规 律:质点 牛顿第二定律 刚体 转动定律,不一定,例:问:M大,是否 大?, 式中各量是对于同一轴而言,且与M的符号(转向) 相同。 该定律不但对固定轴(转轴)成立,对质心轴也成立。 该定律是力矩的瞬时作用规律。,不一定,大,是否M大?,对转动定律 M = J 应注意:,(M大, 大, 的变化大。 可为0),( 大,并不代表它的变化大,有可能它的M=0,匀角速转动。),对分离的质点组:,对质量连续分布的刚体对转轴的转动惯量:,2、转动惯量的物理意义:J是描述刚体转动惯性大小的量
8、度。(对比平动m是物体平动惯性大小的量度),三、转动惯量,1、转动惯量的定义: 对质点:J = m r 2 其中 r 为到转轴的距离。,与刚体的总质量有关 与质量的分布有关 与转轴的位置有关,4、转动惯量J的计算方法:(可将质量元变为线元、面元、体元积分求得),3、J与下列因素有关:,例1、有一均匀细杆,杆长为 l ,质量为m,c为杆的中点。设转轴oo通过c点且与杆垂直,杆绕轴转动,求转动惯量Jc=?,解:取x轴方向如图,杆的线密度为 = m /l ,取小质元 d m = d x,则,若将转轴移到A点,求 JA=? 仍有小质元dm= dx,( =m/l),平行轴定理:刚体对某轴的转动惯量J,等
9、于刚体对通过质心的平行轴的转动惯量 Jc ,加上刚体质量 m 乘以两平行轴之间的距离d的平方。即:,可见转轴不同,转动惯量是不同的。 那么将转轴从C点平行移到A点转动惯量改变了多少?,移项得: JA= JC + m d 2 转动惯量的平行轴定理,解:取OX轴如图所示,则棍上任一段元dx的质量, 至转轴的距离:,X,例2、质量为m、长度为L的均质细直棍,对通过其中心O且与棍斜交成角的轴的转动惯量。,过棒一端 O、仍与棍斜交成角 的轴的转动惯量J。,转动惯量:,讨论: 当 时, 即为棍对于过它的中心且与棍垂直的转轴的转动惯量。,为棍对过棍一端、且与棍 垂直的轴的转动惯量。,由平行轴定理:,例3、求
10、质量为m,半径为R的细圆环对过环心垂直于环面的转轴的转动惯量。,解:圆环的线密度为: =m /2 R 环上取小质元: d m= dl = R d 则 :,例4、求质量为m,半径为R的薄圆盘对过圆心垂直于盘面的转轴的转动惯量。,解:圆盘的面密度为: =m/R2 取一半径为 r,宽为dr 的圆环为质元: dm = 2r dr,即圆盘对其中心轴的转动惯量为 J =mR2/2 。所以定滑轮绕中心轴的转动惯量为J =mR2/2 ,滑轮绕其过边缘一点的平行轴的转动惯量为 J = mR2/2 + mR2 。(平行轴定理) 转动惯量的计算只是对规则物体而言,对不规则的物体的转动惯量只能用实验的方法得出。,例5
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