第2章(基本概念).ppt
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1、第二章 优化问题的数学模型和基本概念,2.1 优化设计的数学模型 2.2 优化设计的三大要素 2.3 优化设计的分类 2.4 优化设计的数学基础 2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件 2.6 优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件,一. 机械优化设计方法解决实际问题的步骤,分析: 设计的要求(目标、准则); 设计的限制(约束)条件; 设计的参数,确定设计变量。,建模:机械优化设计方法相应的数学模型。,2. 分析数学模型的类型,选择合适的求解方法(优化算法)。,3. 使用相应的优化算法程序(或编程)求数学模型的最优解,并对计算的结果进行评价分析, 最终确定是否选用此次计算的解。,1. 分析实
2、际问题,建立优化设计的数学模型;,举例:圆形等截面销轴的优化设计的数学模型,分析:设计目标是轴的质量最轻 Q =1 /4 d2 l min. ;,要求:设计销轴,在满足上述条件的同时,轴的质量应为最轻。,设计限制条件有5个: 弯曲强度: max w 扭转强度: 刚度: f f 结构尺寸: l 8 d 0,设计参数中的未定变量:d、l,已知:轴的一端作用载荷 P=1000N,扭矩 M=100Nm;轴长不得小于8cm;材料的许用弯曲应力 w=120MPa,许用扭剪应力 = 80MPa,许用挠度 f = 0.01cm;密度= 7.8t /m,弹性模量E=2105MPa。,举例:圆形等截面销轴的优化设
3、计的数学模型,目标函数 Q = 1 /4 d2 l min. 约束函数 max = Pl / ( 0.1d3 )w = M / ( 0.2d3 ) f = Pl3 / ( 3EJ ) f l 8 d 0,求:X =x1,x2 T = d ,l T min. f (X)= Ax12x2 XR2 s.t. g1(X)= 8.33 x2 - x13 0 g2(X)= 6.25 - x13 0 g3(X)= 0.34 x23 - x14 0 g4(X)= 8 - x2 0 g5(X)= - x1 0,建立数学模型,代入数据整理得 优化设计模型:,s.t.=subject to,受约束于, 设计变量 目
4、标函数 约束函数,(性能约束), 约束函数(性能约束) 约束函数(性能约束) 约束函数(几何约束) 约束函数(几何约束),属于2维欧氏空间,三. 优化设计的数学模型,求:X =x1,x2 T = d ,l T min. f (X)= x12x2 XR2 s.t. g1(X)= 8.33 x2 - x13 0 (max w) g2(X)= 6.25 - x13 0 ( ) g3(X)= 0.34 x23 - x14 0 ( f f ) g4(X)= 8 - x2 0 g5(X)= - x1 0,设 X =x1, x2 , xn T min. f (X) = f (x1, x2 , xn) XRn
5、 s.t. gu(X) 0 u = 1,2,m hv(X) = 0 v = 1,2, p n,(设计变量) (目标函数) (不等式约束) (等式约束),三. 优化设计的数学模型,机械优化设计数学模型的一般形式:,练习:,已知:P=22680N,L=254cm,铝合金材料 密度=2.768g/cm3,许用应力=1400MPa, 要求:截面平均直径D=0.5(D1+D2 )/28.9cm 壁厚0.1cm,设计D、 。使柱子重量最小。,求:X =x1,x2 T = D , T (设计变量) Min f(X)= G = D l =2.2 x1x2,s.t( s.t.=subject to,受约束于)
6、1、强度 =22680/(D ), 即0.518-D 0 2、压杆稳定性: 72.2/D -1.35D2 0 3、 D8.9 4、壁厚0.1,求:X =x1,x2 T = D , T (设计变量) Min f(X)= G = D l =2.2 x1x2 s.t(约束) 1、强度 0.518-D 0 曲线c-c 2、压杆稳定性: 曲线d-d 72.2/D -1.35D2 0 3、 D8.9 曲线a-a 4、壁厚0.1 曲线b-b,、等重线,计算机搜索路线,一.设计变量:,设计变量:在优化设计过程中是变化的,需要优选的量。 设计参数:在优化设计过程中保持不变或预先确定数值。,可以是几何参数:例:
7、尺寸、形状、位置 运动学参数:例: 位移、速度、加速度 动力学参数:例: 力、力矩、应力 其它物理量:例: 质量、转动惯量、频率、挠度、弹性模量、密度 非物理量: 例: 效率、寿命、成本,设计点: X(k)(x1(k), x2 (k), , xn(k)) 是设计向量X(k)的端点,代表设计空间中的一个点,也代表第 k 个设计方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。,设计空间 Rn :以x1, x2 , , xn 为坐标轴,构成 n 维欧氏实空间Rn。它包含了所有可能的设计点,即所有设计方案。,一.设计变量,设计变量:优化设计问题有 n 个设计变量 x1,x2 ,xn, 用 xi (i = 1
8、,2,n)表示,是设计向量 X 的 n个分量。 设计向量:用 X =x1, x2 , , xnT 表示,是定义在 n 维欧氏空间中的一个向量。,例:右图三维空间中 第1设计点:X(1) = x1(1),x2(1),x3(1)T 第2设计点:X(2) = x1(2),x2(2),x3(2)T 其中:X(2) = X(1) +X(1) 增量:X(1)=x1(1),x2(1),x3(1)T 即 x1(2) = x1(1) + x1(1) x2(2) = x2(1) + x2(1) x3(2) = x3(1) + x3(1),一.设计变量,设计约束:设计变量值(设计点)的选择不仅要使目标函数达到最优值
9、, 同时还会受一定的条件限制,这些制约条件称设计约束。,约束函数:设计约束是设计变量的函数,称为约束函数。,不等式约束函数: gu(X) 0 u = 1,2,m 等式约束函数: hv(X) = 0 v = 1,2, p n,例:有三个不等式约束 g1(x) = - x1 0 g2(x) = - x2 0 g3(x) = x12 + x22 - 1 0,再加一个等式约束 h(x) = x1- x2 = 0,二.约束函数,二.约束函数,约束(曲)面: 对于某一个不等式约束 gu(X) 0中,满足 gu(X) = 0 的 X 点的集合构成一个曲面,称为约束(曲)面。,它将设计空间分成两部分:满足约束
10、条件 gu(X) 0 的部分和不满足约束条件 gu(X) 0 的部分。,设计可行域(简称为可行域) 对于一个优化问题,所有约束的约束面将组成一个复合的约束曲面,包围了设计空间中满足所有约束条件的区域,称为设计可行域 。,记作 =,g u(x) 0 u = 1,2,m h v (x) = 0 v = 1,2, p,二.约束函数,可行设计点(内点): 在可行域内任意一点称为可行 设计点,代表一个可行方案。,极限设计点(边界点): 在约束面上的点称为极限设计点。,若讨论的设计点 X (k) 点使得 gu( X (k) ) = 0 ,则 gu( X (k) ) 0 称为 适时约束或起作用约束。,非可行
11、设计点(外点): 在可行域外的点称为非可行设 计点,代表不可采用的设计方案。,二.约束函数,目标函数: 优化设计的过程是从可行设计解中,找出一组最优解的过程。需要一个准则来评价当前设计点(解)的最优性。 这个准则包含各个设计变量,作为评价函数,一般称为目标函数,也称为评价函数、准则函数、价值函数。,多目标函数: 由于评价准则的非唯一性,目标函数可以是一个单目标函数,也可以是多个称为多目标函数。,三. 目标函数,求:X =x1,x2 T = D , T (设计变量) Min f(X)= 重量G = D l =2.2 x1x2,单目标函数的表达式为:f(x) = f(x1, x2 , ,xn )
12、多目标函数的表达式为:f(x) = 1f1(x)+2f2(x)+qfq(x) =,其中: f1(x),f2(x), fq(x)代表 q 个分设计目标; 1,2, ,q 代表 q 个加权系数。,三. 目标函数,三. 目标函数,说明: f(x)必须是x的函数,应随设计点的变化f(x)的值上升、下降; f(x)应该是实函数,是可计算的。但不一定通过数学公式,还可以用其它数值计算方法计算。 f(x)可以是有物理意义,有单位的,也可以没有物理意义。 例如,销轴的质量: Q =1/4d2l, 1/4是常数, 目标函数可简化为 f(x) = d2 l = x12x2,一. 按模型性质分:,确定型优化问题 不
13、确定型优化问题(随机优化问题),二. 按设计变量性质分,连续变量、 离散变量、 随机变量,三. 按约束情况分,1. 按有无约束分: 无约束优化问题 约束优化问题,2. 按约束性质分: 区域约束(几何约束、边界约束) 性能约束(功能约束、性态约束),四. 按目标函数和约束函数的特性分:,线性规划问题 非线性规划问题 几何规划问题 二次规划问题,五. 按目标函数的个数分:,单目标优化问题 双目标优化问题 多目标优化问题,一. 等值(线)面:,对于可计算的函数 f(x),给定一个设计点 X(k)(x1(k),x2(k), ,xn (k),f(x)总有一个定值c 与之对应;而当f(x)取定值 c 时,
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