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1、第三节物理应用,第六章,第二节 几何应用,第一节 元素法,定积分的应用,第六章,回顾,曲边梯形求面积的问题,第一节 元素法,面积表示为定积分的步骤如下,(3) 求和,得A的近似值,(4) 求极限,得A的精确值,提示,元素法的一般步骤:,这个方法通常叫做元素法,应用方向:,平面曲线的弧长;平面图形的面积;体积;功;水压力;引力和平均值等,思考题,微元法的实质是什么?,思考题解答,微元法的实质仍是“和式”的极限.,三、已知平行截面面积函数的 立体体积,第二节,二、 平面图形的面积,一、 平面曲线的弧长,定积分在几何学上的应用,第六章,一、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长 0 时,折线的长度趋向
2、于一个确定的极限 ,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.,则称,(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,(2) 曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,(3) 曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分) :,例. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,成悬链线 .,求这一段弧长 .,解:,下垂,悬链线方程为,例. 求连续曲线段,解:,的弧长.,例. 计算摆线,一拱,的弧长 .,解:,例. 求阿基米德螺线,相应于 02,一段的弧长 .,解:,例. 求心形线线,的周长 .,解:,曲边梯形
3、的面积,曲边梯形的面积,直角坐标系情形,二、平面图形的面积,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,说明:注意各积分区间上被积函数的形式,解,两曲线的交点,选 为积分变量,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,例5. 求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .,解:,面积元素,曲边扇形的面积,极坐标系情形,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,解,利用对称性知,三、平行截面面积为已知的立体的体积,立体体积,旋转体的体积为,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,
4、立体体积,解,体积元素为,解,补充,利用这个公式,可知上例中,柱壳法,例11. 设,在 x0 时为连续的非负函数, 且,形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 ,证明:,证:,利用柱壳法,则,故,例12. 设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,(1) 求函数,(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体,解: (1),由方程得,面积为 2 ,体积最小 ?,即,故得,又,(2) 旋转体体积,又,为唯一极小点,因此,时 V 取最小值 .,例13. 证明曲边扇形,绕极轴,证: 先求,上微曲边扇形,绕极轴旋转而成的体积,体积微元,故,旋转而成的体积为,第三节,一、 变力沿直线所作的功
5、,二、 水压力,三、 转动惯量,定积分在物理学上的应用,第六章,一、 变力沿直线所作的功,设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 .,在其上所作的功元,素为,因此变力F(x) 在区间,上所作的功为,例1.,一个单,求电场力所作的功 .,解:,当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为,则功的元素为,所求功为,说明:,位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) ,在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下,例2.,体,求移动过程中气体压力所,解:,由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从,点 a 处移动到
6、点 b 处 (如图),作的功 .,建立坐标系如图.,由波义耳马略特定律知压强,p 与体积 V 成反比 , 即,功元素为,故作用在活塞上的,所求功为,力为,在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气,例3.,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?,解: 建立坐标系如图.,在任一小区间,上的一薄层水的重力为,这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为,故所求功为,( KJ ),设水的密度为,(KN),一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,例4. 半径为 R , 密度为,的球沉入深为H ( H 2 R ),的水池底, 水的密度,多少功 ?,解:,建立坐标系如图 .,则对应,上球的薄片提到水
7、面上的微功为,提出水面后的微功为,现将其从水池中取出, 需做,微元体积,所受重力,上升高度,因此微功元素为,球从水中提出所做的功为,“偶倍奇零”,例5. 设有半径为 R 的半球形容器如图.,(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为,为h (0 h R ) 时水面上升的速度 .,(2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最,少应为多少 ?,解: 过球心的纵截面建立坐标系如图.,则半圆方程为,设经过 t 秒容器内水深为h ,(1) 求,由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为,而高为 h 的球缺的体积为,半球可看作半圆 绕 y 轴旋转而成,体积元素:,故有,两边对 t 求导,
8、 得,at (升) ,(2) 将满池水全部抽出所做的最少功,为将全部水提,对应于,微元体积:,微元的重力 :,薄层所需的功元素,故所求功为,到池沿高度所需的功.,思考与练习,提示: 作 x 轴如图.,1.为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每,在提升过程中污泥,以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度为3m /s ,问,克服重力需作多少焦耳( J ) 功?,已知井深30 m ,抓斗自重400N ,将抓起污泥的抓斗由,抓起污,x 提升 dx 所作的功为,米重50N ,提升抓斗中的污泥:,井深 30 m, 抓
9、斗自重 400 N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为3ms, 污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉,克服缆绳重:,抓斗升至 x 处所需时间 :,克服抓斗自重:,解,设木板对铁钉的阻力为,第一次锤击时所作的功为,2 用铁锤把钉子钉入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比,铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米,若每次锤击所作的功相等,问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少?,设 次击入的总深度为 厘米,次锤击所作的总功为,依题意知,每次锤击所作的功相等,次击入的总深度为,第 次击入的深度为,面积为 A 的平板,二、液体侧压力,设液体密度为 ,深为 h 处的
10、压强:,当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .,平板一侧所受的压力为,小窄条上各点的压强,例6., 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力.,解: 建立坐标系如图.,所论半圆的,利用对称性 , 侧压力元素,端面所受侧压力为,方程为,一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为,说明:,当桶内充满液体时,小窄条上的压强为,侧压力元素,故端面所受侧压力为,奇函数,锐角 取多大时, 薄板所受的压力 P 最大 .,练习题斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于,解: 选取坐标系如图.,设斜边长为 l ,水中, 并使一直角边与水面相齐,则其方程为,问斜边与水面交成的,
11、故得唯一驻点,故此唯一驻点,即为所求.,由实际意义可知最大值存在 ,即,思考题,一球完全浸没水中,问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系?它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系?,思考题解答,该球面所受的总压力方向向上(下半球面所受的压力大于上半球面),其值为该球排开水的重量,即球的体积,也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关,三、转动惯量,质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为,的质点系,若考虑物体的转动惯量 , 则需用积分解决 .,关于轴 l 的转动惯量为,例7., 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ;, 求圆盘对直径所在轴的转动惯量 .,解: 建立坐标系如图.,设圆盘面密度为 .,小圆环质量,对应于,的小圆环对轴 l 的转动惯量为,故圆盘对轴 l 的转动惯量为,设有一个半径为 R , 质量为 M 的均匀圆盘 ,平行 y 轴的细条,关于 y 轴的转动惯量元素为,细条质量:,故圆盘对y 轴的转动惯量为, 取旋转轴为 y 轴, 建立坐标系如图.,
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