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1、第十五章 比较与类比,第一节 比较概述与类型,1、比较概述 比较是人类认识客观事物的一种最基本的思维方法。 比如,对事物集合量的最初的认识,正是通过比较认识到事物集合量的“多”或“少”或“同样多”,从而形成等价集合类的概念,最终得到自然数的概念。 比较还使我们发现某类事物不同于它类事物的共同的本质属性,从而形成概念,达到对事物更深刻的认识。,无论是区分事物的质,还是区分事物的量,都要通过比较这一思维方法才能达到。 区分事物的客观基础,就是事物本身所具有的同一性和相异性。因此,我们可以说,比较就是在认识事物的过程中,确定思维对象的相同点和不同点的思维方法,它是其他思维方法如分析综合、抽象概括、归
2、纳演绎等的基础。 因此,要有意识地学会比较这一思维方法,把它作为数学思维的重点之一。,2、比较类型 相同点的比较 就是要确定我们的思维对象的共同属性。有些貌似不同的事物,也可能存在一些共同点,这些共同之处往往联系着它们的规律。 因此,通过比较寻找相异事物的共同点,可以开拓思路,探索规律,更深刻地认识事物及其相互关系, 这类比较方法可以概括为“异中见同”。,【例】将四个分数,按照由小到大的,顺序排列。,【分析】这四个分数互不相同,若作通分后比较,将非常麻烦。但经观察比较,得到一个共同特点是,分子总比分母小1。其中:,分子相同的分数仅比较分母即可,即由,可得到,【例】用一条直线将一个长方形分为两等
3、分,有几种画法?,【分析】分法是很多的,画出几种并不难,难在需要确定有几种画法。,在多种画法中,比较下面这种最特殊的一种画法:即经过矩形两对角线交点矩形的中心,所画的直线都平分矩形;,而且容易由平行截割定理证明其正确性;,因此,用一条直线将一个长方形分为两等分,有无数种画法。,而经过矩形两对角线交点可作无数条直线;,不同点的比较 不同点的比较就是要确定思维对象的不同特性。 有些貌似相同或十分相似的事物,实际上总是存在着某些差异,即使是相等的事物,也只是彼此不相同、不同一的事物之间的同一。 通过比较寻找相同或相似事物的不同点,同样可以开拓思路,探寻规律,更深刻地理解某些概念及其相互关系。 这类比
4、较方法可以概括为“同中求异”。,【例】下面每组数中,请找出不同类的数来,并说明理由。,【解】在组数中,,不是自然数。,在组数中,, 1,4,7, ,14,17,20,, 0,1,1.5,3,6,8,16,,不是整数。,【例】比较合数与偶数的区别。,【解】分别从内涵和外延两方面进行比较:,【区别】两概念的外延是交叉关系,合数中不含负偶数、0和2,,而偶数中不含奇合数;,两概念的内涵是交叉关系,合数规定能被1和它自身以外数整除,而且是自然数; 而偶数规定能被2整除的整数,而且是整数。 上述两例都是“同中见异”的比较。 “异中见同”和“同中见异”两类比较方法在实际运用过程中,往往是综合进行的,并配合
5、其他思维方法,相辅相成。,3、比较方法举例 运用比较,掌握数量关系 【例1】小营村有耕地面积180亩,其中棉田占总耕地面积的3/5,全村棉田有多少亩? 【例2】小营村有棉田面积180亩,棉田占总耕地面积的3/5,全村总耕地有多少亩? 【比较】两题的数量关系都没变,都是 全村总耕地面积3/5=全村棉田面积 不同的是已知条件与所求问题交换了。,运用比较,发现规律 【例1】比较一组等式: 63=2,6030=2,600300=2, 60003000=2,6000030000=2, 观察 6K3K=2 再考虑 (60)(30)=? 总结运算规律:“被除数与除数同时乘以相同的非零数值,商不变。”,运用比
6、较,突出概念的内涵和外延 概念学习中适当运用变式材料,借助比较,促进理解概念的内涵,那么这个概念的外延也就明确了。 运用比较,辩析易混概念恰当组织正反对比 学习中,从正面揭示概念、法则、公式等,无疑是重要的,但仅仅这样还不够,对一些重要概念和典型问题,应抓住本质进行正反对比,或从反面提出一些问题,进行思索判断,加深理解。,适时归纳已学过的相关概念 数学概念体系中, 有一些相似概念(如数位和位数、质数与互质数、比和比例、求比值与化简比、方程的解与解方程等), 还有一些相近概念(如除尽与整除、数与数字、质数与质因数、计数与记数等), 还有一些相反概念(如约数与倍数、扩大与缩小、化法与聚法、正比例与
7、反比例等), 都是容易混淆的概念, 在复习阶段把这些易混概念放在一起进行对比辩析,归纳注意点,有利于使学习形成分化,达到深化理解的目的。,运用比较,开拓解题思路 通过比较、沟通联系,变换思考角度 【例】一堆煤用去1200吨,比余下的多1/3,这堆煤原有多少吨? 【分析】若按题目的思路进行思考,计算量大: 设这堆煤原有x吨,用去1200吨,余下x-1200,按题意,用去的与余下的比较,得,解得,若换个角度进行思考,将余下的与用去的比较: 设这堆煤原有x吨,用去1200吨,余下x-1200,为,亦即,同样解得,通过比较,寻找解题的关键 【例】一次测验,老师出了十道是非判断题,每题10分,如果学生认
8、为是正确的,则以“”表示;反之,以“”表示。下表中有甲、乙、丙、丁四个学生的答案和老师对甲、乙、丙三个学生的评分,你能根据此表来评定学生丁的成绩吗?,【分析】解答本题的关键是确定标准答案。 运用比较的方法,先观察对比分数差异最大的甲、乙的答案: 由于两人的1、2、4、6、7、10这六道题判断相反,而甲比乙刚好多得60分,显然这六题甲都答对了而乙都答错了;,再对比观察甲、丙的答案: 由于两人只有第 3、5、9三题的判断相反,而甲比丙只多得10分,可知这三题中,甲的有二对一错,而丙二错一对。,至此,甲的答案中,已经确定第1,2,3,4,5,6,7,9,10这9题中有8题正确,恰好对应80分, 因此
9、第8题甲应答错,从而第8题与甲相同答案的丙也是第8题答错。 于是,得到1、2、4、6、7、8、10这7题的标准答案如下:,此时,丁在2、6、8三题得分, 而1、4、7、10四题失分, 这7题的得分可计算为30分。 下面只要确定丁在3,5,9这三道题上的得分即可。,由前分析知,这三题中, 甲二对一错, 而丙二错一对, 而由上见,丁的答案与丙相同,所以也应为二错一对,这三题得分也应为10分。 综上,丁的总得分为40分。,第二节 类比概述与类型,1、类比概述 类比是根据两个或两类事物具有某些相同或相似的属性,其中一个(类)事物已知还具有另一属性,从而推出另一个(类)事物也可能具有这一相同属性或相似的
10、属性。 可见,类比是用以进行推理的一种思维方法,用这样的思维方法进行推理通常就叫类比推理,有时简称类比或类推。,类比是理性思维的一种本能,它使人预感到经验所发现的某种事物具有某种特性,可以推论到同类的别的事物也具有同样的特性。 因此,类比是一种从已知到未知,探求和发现新知识的富有成效的思维方法。 在数学学习中,有意识地培养以至强化类比思维能力,可以体验到发现和创新的快乐,发展智能,激发学习数学的兴趣,是很有意义的。,2、类比条件 类比要以比较作为基础 在进行类比推理时,首先要在思维对象间进行比较,尽可能多地找出它们的相同点或相似点,从而确定两个(类)思维对象赖以进行类比的方向,然后以此为依据,
11、把其中一个(类)对象在这一方向上的已知性质,推移到另一个(类)对象上去。 这是一个由特殊到特殊、由一般到一般的推理过程。它以比较作为基础,同时也和抽象概括、归纳演绎等思维方法紧密相关,交叉应用。,必须明确,类比推理得出的结论具有或然性,它的真实性应经过论证和检验,以免造成失误或差错。 【例】将100增加20,然后再减少20,结果等于100。 如果将此整数运算规律类比到百分数的运算,得出“100增加20,然后再减少20,结果仍为100”,就成为一个错误的结论。,掌握类比的两个要领 要善于观察 进行类比推理所依据的两种对象间的相同属性数量越多,结论的可靠程度越大。 因此,要善于观察事物的特点,注意
12、发现对象间的共同点或相似之处。,要善于联想 联想就是从一事物联想到与它性质相似的其他事物;从一种方式方法联想到与其作用类似的其他方式方法;从一个概念联想到与它关系密切的一串其他概念。 数学中有关联想的分类大致有以下几种: 定向联想: 【例】由长方形面积公式推出平行四边形面积公式。,双向联想: 【例】乘法分配律的正用、反用、变用。 接近联想: 【例】由“下半年的产量是上半年的3倍”,可形成以下联想: 下半年产量比上半年多2倍, 下半年产量是全年产量的3/4, 下半年产量与上半年产量的比是3:1, 上半年产量是下半年的1/3, 上半年产量比下半年少2/3,等。,类比联想: 【例】如从等差数列求和公
13、式 想到梯形面积公式 对比联想: 【例】如圆周长公式 与圆面积公式的对比,关系联想: 【例】由“求一个数的几倍用乘法”联想具有因果关系的:“求一个数是另一个数的几倍用除法”; 建立“梯形”的概念后可联系前面学过的四边形,联想它们之间的关系是从属关系等。,第三节,3、类比方法应用举例 运用类比,激发学习兴趣 【例】写出下面的奇妙得数:,2+19=,3+129=,4+1239=,5+12349=,6+123459=,11 -计算得结果,111 -计算得结果,1111 -计算得结果,11111 -猜想并核算,111111 -猜想并核算,这类题组是训练从“类比”前面几道算式中的运算符号、数值变化规律,
14、推测写出后面几道算式的得数,然后分组核对结果是否正确。 它既巩固四则混合运算的顺序、运算技能,培养类比推理的能力,诱发猜想,并从中欣赏到“数学美”,从而激发学习数学的兴趣,唤起强烈的求知欲。,2、运用类比,加深理解 【例】对“一个数乘以分数”的理解。 可设计三幅图(一桶油重100公斤), 第一幅图求3桶油重多少公斤?-(1003) 第二幅图求1/2桶油重多少公斤?-(1001/2) 第三幅图求3/4桶油重多少公斤?-(1003/4) 此设计编排意图就是要从“类比”这三幅图的问题、算式及运算意义之间的联系中得一个数乘以分数的意义。,3、运用类比,导出性质 【例】对“比的基本性质”的理解。 根据比
15、的意义,出示3:2=32=1.5, 然后“类比”:比较除法和分数之间的关系, 再根据分数的基本性质导出比的基本性质: 分数性质:分子、分母同乘(除)一个非零数,分数值不变; 比的性质:比的两部分同乘(除)一个非零数,比值不变。,4、运用类比,得出法则 【例】对“三位数乘多位数”的掌握。 将三位数乘多位数,同两位数乘多位数进行“类比”, 重点在于掌握两位数乘多位数中:“用乘数中某一位置上的数去乘,乘得结果的末位就要和该位置对齐”, 突破这一点,就可通过类比得出“三位数乘多位数”的计算法则。,5、运用类比,推导公式 【例】推导计算圆柱体侧面积公式。 先观察、认识侧面部位;然后展开侧面,使曲面转化成
16、平面,可知圆柱体侧面展开图形是一个长方形; 再分析长方形的长和宽与圆柱体相应部位的关系,这是类比关键的一步。 长方形的长a与圆柱体底面周长2r相等,长方形的宽b与圆柱体的高h相等; 从而,由长方形面积公式 S=ab, 推得圆柱体侧面积公式 S=2rh。,6、运用类比法解应用题 运用类比方法解应用题,实践证明,效果良好。 运用类比法解数学题,关键在于寻找一个合适的类比对象。 一般说来,可以根据数学题的不同特点,从题型结构、图形特征、有关性质及解题方法等方面进行类比,以寻觅恰当的类比对象。,【例】从时钟指向4点开始,再经过多少分钟,时针正好与分针重合? 【分析】钟面上的数学问题可以与行程问题类比。
17、 以时针1小时所走的一格为路程单位,则已知分针在时针后面4格,分针每分钟走1/5格,时针每分钟走1/60格, 分针每分钟追上时针的路程为1/5-1/60格,须要追赶路程为4格, 不难得出追赶时间为4(1/5-1/60)=21+6/11分钟。,4 5 6 7 8 9,【例】甲、乙、丙、丁四人合买一物品,已知: 甲出的钱是其他三人总和的1/4, 乙出的钱是其他三人总和的7/23, 丙出的钱是其他人总和的4/11, 丁出了9元。 问四人各出多少元? 【分析】注意到甲、乙、丙三人出的钱分别都是其他三人总和的几分之几,这个共同点就是进行类比的依据, 只要能求出其中一人出的钱占四人出钱总数的几分之几,则由
18、此类比得各人出的钱占四人出钱总数的几分之几,终因丁出了9元而得到解法。,【解】由甲出钱是其他三人总和的1/4,知若甲出钱1份,则其他三人总和为4份,于是是四人总和为1+4=5份,甲出钱是四人总和的1/(1+4)=1/5; 同理,乙出钱是四人总和的7/(7+23)=7/30; 类推,丙出钱是四人总和的4/(4+11)=4/15; 于是,丁出钱是四人总和的 1-(1/5+7/30+4/15)=3/10; 但已知丁出了9元,即知四人总和为 9(3/10)=30(元), 可知:甲出钱301/5=6(元) 乙出钱307/30=7(元) 丙出钱304/15=8(元)。,【例】把自然数中的偶数2,4,6,按
19、下图规律依次排成5列,这样,数1990出现在第几列? 2 4 6 8 16 14 12 10 18 20 22 24 32 30 28 26 34 36 38 40 这样,1990出现在第几列?,【解】把上图中每个偶数都除以2,得到与上图对应的5列自然数,如下图: 1 2 3 4 8 7 6 5 9 10 11 12 16 15 14 13 17 18 19 20 因为19902=995,则问题转化为:995出现在第几列?,观察新图中的数列,发现: 被8整除的数都在第1列; 类比得:被8除余1和余7的数都在第2列; 被8除余2和余6的数都在第3列; 被8除余3和余5的数都在第4列; 被8除余4的数都在第5列。 由于9958=124余3,由上述分析,可知995出现在新图中第4列,即类比1990出现在原图中第4列。,以上几例体现了类比的分析方法的优越性,在于提供了我们思考问题的一种有效途径。 如果碰到一个问题不会做时,那就想一想,有没有一个以前见过的问题与这个问题类似? 这或许会帮助你发现解题的思路。,
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