画法几何直线直线的相对位置直角投影定理直角三角性法.ppt

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1、同学们好！,大家好!,第三章 直线,第二节 各种位置直线,第一节 直线的投影,第三节 一般位置线段的实长及其 对投影的倾角,第四节 两直线的相对位置,第五节 直角投影定理,H,直线的投影仍为直线，两点确定一条直线，直线上两点的投影用直线连接，就得到直线的投影。,b,第一节 直线的投影,直线垂直于投影面其投影积聚为一点(积聚性),作CB/ab,则ABC为直线AB对投影面H的倾角.,直线倾斜于投影面其投影比实长短: ab=ABcos(类似性）,直线平行于投影面其投影反映线段实长: fg=FG（真实性）,投影特性,F,A,B,a,e(d),D,E,(c),g,f,G,C,投影面平行线,平行于某一投影

2、面而与其余两投影面倾斜,投影面垂直线,正平线（只平行于面）,侧平线（只平行于面）,水平线（只平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,与三个投影面都倾斜的直线,垂直于某一投影面(平行于另两投影面),返回,第二节 各种位置直线,特殊位置直线,一、直线的分类：,二、相对投影面各种位置直线的投影,一般位置直线的三个投影仍为直线；三个投影都倾斜于投影轴；投影长度小于线段的实长；投影与投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角。,一般位置直线AB,X,Z,YH,YW,O,直线上点的投影，必在直线的同面投影上； （cab, ca b ,ca b) 线段上的点分割线段

3、之比，投影后保持不变。 AC/CB=ac/cb= a c / c b = a b/ c b),1.一般位置直线上点的投影,X,YW,YH,C是直线AB上的点,例1 如图中黑色的图形所示，作出分 线段AB为3:2的点c的两面投影。,0,作法： 1.过点a任作一条直线ae； 2.在ae上截取五等分； 3.连接be； 4.在离点a三等分点处作直线平行于be，交ab上一点c； 5.过点c作直线垂直于ox,交 ab于点c。 点C(c, c)即为所求。,a,b,a,b,c,c,e,x,2.投影面平行线,b,a,1) 正平线（投影面V的平行线AB）,投影特性： 1. a“b“ / OZ ， a b/ OX；

4、 2. a b = A B； 3.正面投影反映、角的真实大小。,投影特性： 1.a b / OX，a“b“/ OYw； 2.a b = A B； 即：水平投影反映线段实长及、角的真实大小。,a,a,b,a,b,b,2) 水平线（投影面H的平行线AB）,3)侧平线（投影面W的平行线AB）,（小结）投影面平行线的投影特性： 1.在直线所平行的投影面上的投影，反映线段实长；它与投影轴的夹角，分别反映直线与另两投影面夹角的真实大小。 2.在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，长度缩短。,3.投影面垂直线,1)正垂线(投影面V的垂直线AB),A,B,b,a,(b),a,投影特性：1. a ( b

5、 )积聚成一点 2. a b Ox ； a b Oz 3. a b = a b = AB,z,x,yH,yH,o,(投影面H的垂直线AB),投影特性：1、 a b 积聚成一点 2、 a b ox,a b oyw 3、 a b = a b = AB,2) 铅垂线,(投影面 W 的垂直线AB),投影面垂直线的投影特性： 1.在与直线垂直的投影面上的投影积聚成一点。 2.在另外两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴且反映线段实长。,3) 侧垂线,z,z,1,z1,z,o,x,a,b,a,b,k,k,1,2,例2 侧平线上的点,已知AB的两面投影及其 上面的点K的正面投影， 求点K的水平投影。,利用点在

6、线上分割线段 成定比，投影后不变的 性质作图。,第三节 一般位置线段的实长及其对投影面的倾角,方法是：以线段在某一投影面上的投影长为一直角边，两端点与这个投影面的距离差为另一直角边形成的直角三角形。其斜边是线段的实长，斜边与投影长的夹角就是该直线与这个投影面的倾角。,b,a,b,a,b,a,在正面投影上求线段实长与倾角,在水平投影上求线段实长与倾角,在侧面投影上求线段实长与倾角,实长,实长,实长,直角三角形法,Bo,直角三角形求线段实长及其 与投影面的倾角中的三个三角形,设所求线段为AB 在三个直角三角形中，斜边为线段实长；一个直角边为某投影长，该投影与斜 边的夹角为该直线与投影面的夹角；夹角

7、所对的边为线段两端点相应的坐标差。,AB线段实长,ZAB,ab的长,AB线段实长,XAB,a b 的长,AB线段实长,YAB,a b 的长,例1 已知线段的实长AB，求它的水平投影。,a,根据已知条件，要求得ab，其方法一是求得A、B两点的Y坐标差(YAB ) ；方法二是求得ab的长。 此题有两解(多解 时一般只画一解）,b,x,a,o,b,方法二 已知线段的实长AB，求它的水平投影。,a,此题有两解,b,x,a,o,b,解法二,方法三：求出ab的长,b,x,a,o,b,x,a,b,B,a,ZAB,1,2,以AB两点的Z坐标差为 一直角边的直角三角形 中，另一直角边为AB水 平投影ab的长。

8、即：12=ab,ZAB,例2 已知直线AB的=30 求作AB的正面投影。,o,x,a,b,a,b,ZAB,30,1.分析 要求得ab，其实 就是求b；要求得b 也就是想办法找到A、 B两点的Z坐标差或者 求出ab的长。,B0,2.作图 1）作abB0,使= 30 A的对边为ZAB 2）过a作直线平行于 Ox轴，与过b而垂直于 ox轴的直线交于一点b0 3）以b0为圆心以ZAB为 半径画圆弧，交bb0的延 长线于点b 4）用直线连接ab 即为所求。,b0,o,x,a,a,b,k,b,c,d,6,8,2,0,d,c,6,8,2,0,k,例3 已知CDAB=K，CDH， 求CD的正面投影。,求k同前

9、。 由于CDH所以 cdox轴。,同学们好！,第四节 两直线的相对位置,分析： 1.已知ABCD,根据正投影图的作图法可知： (AaP BbP CcP DcP) P面，则平面AB bPaP CDdPcP； 2.两个平行平面（AB bPaP与CDdPcP）与第三平面（P可被看作是H、V、W面）相交，交线平行； 3.综上所述，我们可以得出：若空间两直线平行那么他们的同面投影也对应平行（如： ab cd、ab cd、ab cd）,一.两平行直线,X,YH,X,Z,YW,O,a,b,a,b,a,b,c,d,d,c,d,c,例1 判断两直线是否平行,a,a,b,d,c,b,c,d,o,x,方法一： 看直

10、线的方位： 由投影图可以看出 ab、cd同向（均由后向前）； a b 与c d 反向（a b 由上向下，c d 由下向上） 由此看出AB与CD不平行。,方法二： 看比例： a b /c d 1,ab/cd1, 由此可知，AB不平行于CD。,例2 如图所示，判断两侧平线的相对位置。,b,X,0,a,c,d,d,c,b,a,作辅助直线AD与BC的两面投影, 判断：AD与BC是两相交直线, 则AB与CD共面.,只要证明AB与CD共面则有ABCD。,X,0,a,b,c,c,b,a,b,c,d,c,c,c,a,b,c,b,c,a,a,b,c,b,c,d,YW,X,0,a,b,c,c,b,a,b,c,d,

11、c,c,c,a,b,c,b,c,a,a,b,c,b,c,d,YW,X,0,a,b,c,c,a,b,c,d,c,c,c,a,b,c,c,a,a,b,c,c,d,YW,X,0,a,b,c,c,a,c,d,c,a,b,c,a,a,b,d,c,d,YW,YH,a,Z,方法三： 求第三投影(三个投影都 互相平行，则ABCD),方法四： 看已知的二 直线是否共面,a,b,c,d,c,a,b,d,例3 判断图中两条直线是否平行。,由此可知：对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,即AB/CD,返回, ab: cd = a b: c d, ab cd, a b c d, ab1 1c

12、d; a b 1 1 c d;, a1: 1d = a 1: 1 d,aa 11 d d, AB与CD共面,ab cd, a b c d,o,x,二、两相交直线,因此，三对同面投影都相交，且 交点符合点的三面投影特规律,Z,YH,a,b,P,A,B,C,D,E,ap,bp,cp,dp,e,两直线相交有且仅有一个交点（E） 交点是相交两直线的公有点 （P面可以看作H、V、W面）,例1 已知AB与CD相交，又知AB的两面投影及CD的正面投影c d ，且CD平行于V面。求CD的水平投影,a ,b ,c ,d ,a,b,o,x,k ,分析： ABCD=K KAB，KCD k ab，k cd a k /

13、k b =ak/kb 又因为AB平行于W面，所以cd/ox轴。用定比分点法求k。 解： 1.过a任作一条直线ae； 2.在ae上截取a1=a b； a2= a k 的长度 3.连接1b 4.作2k1b,与ab交于点k 5.过k作直线平行于ox轴 6.过c 、 d 作直线垂直于ox,交上述直线于点c、d,e,1,2,a k 的长,c,d,三、交错直线,交错两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不符合相交两直线的投影特性。,X,X,X,X,YH,X,X,X,X,b,a,a,e,e,c,c,f,b,a,a,e,e,c,c,f,b,a,a,e,e,c,c,f,b,a,a,e,c,c,f,b,a,

14、a,e,c,c,f,b,a,a,e,c,c,f,b,a,a,e,c,c,f,b,a,a,e,c,c,f,b,a,a,e,c,c,f,b,a,a,c,c,AB与CD交错，为什么他们在P面上的投影相交呢？因为直线AB上的点F和直线CD上的点E位于指向P面的同一条投射线上，所以点F、E在P 面上的投影重合，点F的投影可见 而点E的投影不可见。,dp,bp,(f ),A,B,D,ap,F,E,fp,（ep）,P,S,cp,a,a,e,e,f,a,a,e,e,f,a,a,e,e,f,a,a,e,f,a,a,e,f,a,a,e,f,a,a,e,f,a,a,e,f,a,a,e,f,a,a,c,AB与CD交错

15、，为什么他们在P面上的投影相交呢？因为直线AB上的点F和直线CD上的点E位于指向P面的同一条投射线上，所以点F、E在P 面上的投影重合，点F的投影可见， 本题中点E、F是对V面的一对重影点； 点E在前，所以点F的正面投影f 不可见。,(f ),C,例1 判断两直线的相对位置,d,a,c,b,y,解法1: 作出侧面 投影,由三面投影可知,两直线交错,例2 判断两直线的相对位置(解法2),用点分割直线段之比，投影后保持不变的性质判断。 由水平投影可判断， 点不属于直线AB， 故两直线交错。,第五节 直角投影定理,直角投影定理： 互相垂直的两直线，当一边为某投影面的平行线时，他们在该投影面上的投影是

16、直角。 逆定理也是成立的。,AB BC，直角边 AB平行于投影面P(P面 可以被看作是H、V、W面）, AB P，Bbp P ABBbp 又 ABBC， ABQ，即AB bpcp ab AB, ab Q, 即a pb pb pcp,a,b,c,X,0,a,c,b,P,直角投影定理：交错二直线,互相垂直的两直线，当一边为某投影面的平行线时，他们在该投影 面上的投影是直角。,例1 作直线AB垂直于直线EF。,1,1,例2 作直线EF，使其垂直于直线AB和直线CD。,e,e,f,b,o,x,a,b,k,1,a,k,Y,K,1,Y,K,例3 求点K到直线AB的距离（投影和实长）。,分析 1.abox,

17、ABV 则有k1ab 2.用直角三角形法求 出K1的实长便得解。,例4 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BC:AB=2:3。,m,x,m,n,o,n,MN平行于投影面V，BC在MN上， 直角边BC平行于投影面V， 又因为ABC=90， 所以有：b c =BC,a b b c,用直角三角形 法求线段AB实长,| YA-B |,AB,a b,bc的长,2份,3份,例5 过点A作等边三角形ABC，使B、C两点属于直线KM。,d,A,D,实,长,o,x,d,边,实,长,2,2,.,1,2,2,.,1,3,0,k,b,a,b,a,c,m,m,k,c,Y,AD,Y,A,D,分析： 1.KMV面 cb=BC adkm 2.只要求得过顶 点A的高，则 ABC可作出； 也就是说ABC 的边长就求出来 了，即求得了 cb,o,b,a,b,7,5,e,e,7,5,a,b,的,长,c,c,a,例6 作等腰直角ABC,使AC=AB，C点在AE上。,x,