离散数学-耿素云PPT(第5版)2.1-2.ppt
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1、1,第2章 一阶逻辑,2.1 一阶逻辑基本概念 2.2 一阶逻辑合式公式及解释 2.3 一阶逻辑等值式与前束范式,2,2.1 一阶逻辑基本概念,个体词 谓词 量词 一阶逻辑中命题符号化,命题逻辑的局限性,苏格拉底三段论: 凡是人都要死的. 苏格拉底是人. 所以苏格拉底是要死的. 在命题逻辑中,只能用p、q、r表示以上3个命题, 上述推理可表成 (pq)r 这不是重言式,3,4,基本概念个体词、谓词、量词,个体词(个体): 所研究对象中可以独立存在的具 体或抽象的客体 个体常项:具体的事物,用a, b, c表示 个体变项:抽象的事物,用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域
2、,如a, b, c, 1, 2 无限个体域,如N, Z, R, 全总个体域: 宇宙间一切事物组成,5,基本概念 (续),谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项:F(a):a是人 谓词变项:F(x):x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系 如 L(x,y):x与y有关系L,L(x,y):xy, 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命 题变项,6,基本概念(续),量词: 表示数量的词 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如 x 表示对个体域中所有的x 存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如 x 表示在个
3、体域中存在x,7,一阶逻辑中命题符号化,例 用0元谓词将命题符号化 要求:先将它们在命题逻辑中符号化,再在一阶 逻辑中符号化 (1) 墨西哥位于南美洲,在命题逻辑中, 设 p: 墨西哥位于南美洲 符号化为 p,在一阶逻辑中, 设a:墨西哥,F(x):x位于南美洲, 符号化为F(a),8,例(续),(2) 是无理数仅当 是有理数,在命题逻辑中, 设 p: 是无理数,q: 是有理数. 符号化为 p q,在一阶逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为,在命题逻辑中, 设 p:23,q:34. 符号化为 pq,在一阶逻辑中, 设 F(x,y):xy,G(x,y):xy,
4、符号化为 F(2,3)G(3,4),(3) 如果23,则34,9,一阶逻辑中命题符号化(续),例 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解:,(a) (1) 设G(x): x爱美, 符号化为 x G(x) (2) 设G(x): x用左手写字, 符号化为 x G(x),(b) 设F(x): x为人,G(x): 同(a)中 (1) x (F(x)G(x) (2) x (F(x)G(x),这是两个基本公式, 注意它们的使用,10,一阶逻辑中命题符号化(续),例 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大
5、于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解,注意: 题目中没给个体域, 使用全总个体域,(1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): xy x(F(x)y(G(y)L(x,y) 或 xy(F(x)G(y)L(x,y) 两者等值,(2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数, L(x,y):xy x(F(x)y(G(y)L(x,y) 或 xy(F(x)G(y)L(x,y) 两者等值,11,一阶逻辑中命题符号化(续),几点注意: 1元谓词与多元谓词的区分 无特别要求,应使用全总个体域,引入特性谓词 量词顺序一般不能随便颠倒 两个基本形式x (F(x)G(
6、x)和 x (F(x)G(x) 的使用 否定的表示,如 “没有不呼吸的人”等同于“所有的人都呼吸” “不是所有的人都喜欢吃糖”等同于“存在不喜欢吃糖的人”,12,2.2 一阶逻辑公式及解释,合式公式(简称公式) 个体变项的自由出现和约束出现 解释与赋值 公式分类 永真式,矛盾式, 可满足式,13,字母表,定义 字母表包含下述符号: (1) 个体常项:a, b, c, , ai, bi, ci, , i 1 (2) 个体变项:x, y, z, , xi, yi, zi, , i 1 (3) 函数符号:f, g, h, , fi, gi, hi, , i 1 (4) 谓词符号:F, G, H, ,
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