4.1定积分的概念.ppt
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1、定积分的概念,定积分的概念,求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,(2)近似求和:任取xixi-1, xi,第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积 f(xi)Dx近似之。,(3)取极限:,所求曲边梯形的面积S为,取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值:,xi,xi+1,xi,(1)分割:在区间0,1上等间隔地插入n-1个点,将它等分成 n个小区间: 每个小区间宽度x,定积分的定义,如果当n时,S 的值无限接近某个常数A,,这个常数为函数f(x)在区间a, b上的定积分,记作,从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”: 分割-近似代替-求和-取
2、极限得到解决.,积分下限,积分上限,=A,定积分的定义:,定积分的相关名称: 叫做积分号, f(x) 叫做被积函数, f(x)dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, a, b 叫做积分区间。,按定积分的定义,有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ,直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为,(2) 设物体运动的速度v=v(t),则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为,定积分的定义:,1,说明: (1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关,即,(2)定积分的几何意义:,x=a、x=b与 x
3、轴所围成的曲边梯形的面积。,当f(x)0时,由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方,,=-S,上述曲边梯形面积的负值。,定积分的几何意义:,=-S,探究: 根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?,例:说明下列定积分所表示的意义,并根据其意义求出定积分的值: (1) (2) (3),解:(1) 表示的是图(1)中阴影所 示长方形的面积,由于这个长方形的面积为 2,所以,(2),表示的是下图中阴影所示梯形的 面积,其面积为 ,所以 ,=,(3),表示的是下图中阴影所 示半径为1的半圆的面积,其值为,, 所以,三: 定积分的基本性质,性质1.,性质2.,性质3.,三: 定积分的基本性质,定积分关于积分区间具有可加性,性质4.,
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- 4.1 积分 概念
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