GCT 数学- 函数单调性、凹凸性与极值.ppt
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1、,第四节,一、函数单调性的判定法,四、曲线的凹凸性与拐点,函数的单调性、凹凸性与极值 利用导数研究函数,第三章,二、函数的极值及其求法,三、最大值与最小值问题,一、 函数单调性的判定法,若,定理 1. 设函数,则 在 I 内单调递增,(递减) .,证: 无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在开区间 I 内可导,证毕,例1. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .,例如,例2. 证明,时, 不等式,证:
2、 令,从而,因此,且,证,证明,* 证明,令,则,从而,即,定义1:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大值点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小值点 ,称 为函数的极小值 .,极大值点与极小值点统称为极值点 .,二、函数的极值及其求法,注意:,为极大值点,为极小值点,不是极值点,对常见函数, 函数极值的可能点集合为: 驻点,不可导点,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例如 ,为极大值点,是极大值,是极小值,为极小值点,函数,定理 2 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(自证),点击图中任意处动画播放暂停,例3. 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极
3、值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大值点,,其极大值为,是极小值点,,其极小值为,定理3 (极值第二判别法),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,证: (1),存在,由第一判别法知,(2) 类似可证 .,例4. 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,三、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到 .,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.
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