第5章参数估计与假设检验.ppt
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1、第5章参数估计与假设检验 参数估计的基本思想 数理统计的主要任务之一是依据样本推断总体. 推断的基本内容包括两个方面:一是依据样本寻 找总体未知参数的近似值和近似范围;二是依据 样本对总体未知参数的某种假设作出真伪判断.本 章先介绍求近似值和近似范围的方法. 参 数 估 计 点估计 区间估计 用某一数值作为参 数的近似值 在要求的精度范围内指 出参数所在的区间 5.1点估计概述 书P146例5.1 即: 选择统计量 估计量 带入样本值 估计值 点估计的评价标准 1.无偏性 书P146定义5.1 例1.书P146例5.1 2.有效性 书P148定义5.2 设 和 是 的两个无偏估计,若 称 比
2、更有效 例2. 设X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本 ,EX=,DX=2,验证下列的估计量哪个更有效. 解 = =2/2 同理 为无偏估计量, 更有效. s.r.s,试证: 为 的无偏估计,且 比 更有效. 例3 . 设总体X的方差存在 是来自 X的 证明: 样本容量越大,样本均值估计值越精确. 3.相合性(一致性) 书P149定义5.3 例4.设X1,X2,Xn为取自总体X的样本,E(X)=,D(X)=2, 则 是总体均值E(X)= 的相合估计量. 证明 利用切比雪夫不等式: 即 是总体均值E(X)= 的相合估计量. 总体数学期望和方差的点估计 在实际中,常常以样本均值作为总体均值的
3、 点估计,以样本方差作为总体方差的点估计. 期望的点估计 (1)无偏性 (2)样本容量越大,估计值 越 有效 (3)相合性 方差的点估计 (无偏估计量) (非无偏估计量) 5.2参数的最大似然估计与点估计 一.最大似然估计 最大似然估计基本思想:已经得到的实验结果出现的 可能性最大,于是就应找这样的 作为 的真值,使实 验结果出现的可能性最大 (书P150定义5.4) 试求参数p的最大似然估计量。 故似然函数为 已知例2.总体服从参数为的普阿松分布, 为 的 一组样本观测值,求参数的最大似然估计. 故似然函数为 例3.已知随机变量服从参数为 的几何分布,其分布列 为 , 为一组样本观测值,求参
4、数 的最大似然估计; 解:似然函数为 例4.总体 的密度函数为: 今从中抽取了容量为10的一个样本,数 据为:1050、 1100、 1080、 1200、 1300、1250、 1340 、 1060、 1150、 1150 ,求参数 的最大似然估计值 解:似然函数为 解:似然函数为 解:似然函数为 似然函数为: X的概率密度为: 解: 二. 矩估计法 这种估计量称为矩估计量;矩估计量的观察 值称为矩估计值。 5.3 置信区间 区间估计要求根据样本给出未知参数的一个范围,并 保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。 一.置信区间的概念 二.正态总体参数的置信区间 (1). 已知方差,估计均值
5、 推得,随机区间: 例2. 已知幼儿身高服从正态分布,现从56岁的幼儿中 随机地抽查了9人,其高度分别为: 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm; 例3.(书P158例5.14) 例4.(书P159例5.15) 例5、从一台机床加工的轴承中,随机地抽取200件,测得 其椭圆度,得样本观察值 =0.081毫米,并由累积资料知 椭圆度服从N(,0.0252),试在置信概率0.95下,求的 置信区间。 解:已知 =0.025 , n=200 , =0.081 查表可得 =1.96 (2). 未知方差,估计均值 推得,随机区间: 例6. 用仪器测量温度,重复测量7
6、次,测得温度分 别为: 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm; 设 温度 X f(x) 这就是说,随机区间: 例8. 设某机床加工的零件长度 今抽查16个零件,测得长度(单位:mm)如下: 12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06, 在置信度为95%时,试求总体方差 的置信区间 。 例9.随机取某种炮弹9发做试验,得炮口速度的样本标准 差为11(米/秒),设炮口速度服从正态分布,
7、求这种炮 弹速度的标准差 的90%的置信区间。 例10.(书P161例5.16) 三.大样本情形的渐进置信区间 例11.(书P161例5.17) 例13.(书P161例5.18) 例14.(书P161例5.19) 例15、设总体X的方差为1,根据来自X的容量为100的样 本,测得样本均值为5,求X的数学期望的置信度为95%的 置信区间。 解:这是一般总体的均值在大样本下的区间估计问题 因为 =5 , =1 , n=100, 故近似的置信区间为 =(4.804,5.196) 1、某旅行社调查当地每一旅游者的平均消费额,随机访 问了100名旅游者,得知平均消费额 =150元,根据经 验,已知旅游者
8、消费额XN(,222),求该地区旅游者 平均消费额的置信度为95%的置信区间。 答案:(145.7,154.3) 2、假定初生男婴的体重服从正态分布,随机抽取12名新 生婴儿,测得平均体重为3057,标准差为375.314,试以 95%的置信系数求新生男婴的平均体重和方差 的置信 区间。答案:(2818,3295),(70752,405620) 3、已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布, 对9个试件作横纹抗压力试验得:平均横纹抗压力 =464.56,标准差S=28.82, 试对下面情况分 别求出平均横纹抗压力的95%置信区间。 (1)已知 =25 (2) 未知 答案:(448.23,48
9、0.89)及(442.41,486.71) 4、冷抽铜丝的折断力服从正态分布,从一批铜丝中任取6 根来测试折断力,得样本方差 =8.56,求方差 的置 信区间( =0.05)。 5、假设豫农1号玉米穗位X(单位:cm)是一个连续型随 机变量,现在观测100株玉米穗位,测得平均高度 =112.3,标准差S=308.8 求置信度为0.95的关于总体均 值的置信区间。 答案 :(51.8,172.8) 5.4假设检验概述 例1. 某地旅游者的消费额附从正态分布XN(,2), 调查 25个旅游者,得出一组样本观测值x1,x2,x25,若有专家认 为消费额的期望值为0,如何由这组观测值验证这个说法 ?
10、假设检验为 =0 例2.用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气体的含 量服从正态分布XN(23,22),现用一简便方法测量6次得一 组数据23,21,19,24,18,18(单位:十万分之一),问用简便方法 测得的有害气体含量是否有系统偏差? 假设检验 =23,2=22 众所周知,总体 的全部信息可以通过其分布函数 反映出来,但实际上,参数 往往未知,有时甚至 的表达式也未知.因此需要根据实际问题的需要,对总体 参数或分布函数的表达式做出某种假设(称为统计假设), 再利用从总体中获得的样本信息来对所作假设的真伪做 出判断或进行检验. 这种利用样本检验统计假设真伪的过程叫 做统计检验(假设检验
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