第6章无限脉冲响应滤波器的设计.ppt
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1、第6章 无限脉冲响应滤波器的设计,6.1 数字滤波器的基本概念 6.2 模拟滤波器的设计 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计 6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法,6.1 数字滤波器的基本概念,数字滤波器指用运算的方法改变数字信号的频率分量的相对比例的器件。与模拟滤波器相比,数字滤波器的精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配?等优点。 1. 数字滤波器的分类 从网络结构或者单位脉冲响应分类: 无限脉冲响应(IIR)滤波器 有限脉冲响应(FIR)滤波器,从功能上来分类: 低通滤波
2、器 高通滤波器 带通滤波器 带阻滤波器,2数字滤波器的技术要求 假设数字滤波器的传输函数H(ej)用下式表示: 选频滤波器的技术指标只要求幅频特性。 线性相位滤波器的技术指标则两样都要求。,图6.1.2 低通滤波器的技术要求,通带和阻带内都允许有衰减误差。允许的衰减用dB数表示。通带内允许的最大衰减用p表示,阻带内允许的最小衰减用s表示。p和s分别定义为:,(6.1.3),(6.1.4),如将|H(ej0)|归一化为1,(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成:,(6.1.5),(6.1.6),3. 数字滤波器的设计方法 IIR滤波器设计方法是: 从模拟滤波器变到数字滤波器的设计, 直接在离散
3、频域或时域中设计。 FIR滤波器的设计方法是: 窗函数法, 频率采样法。,6.2 模拟滤波器的设计,模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟,有若干典型的模拟滤波器供我们选择,如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等,这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。 设计模拟滤波器是先设计低通滤波器,再把低通滤波器变换为希望的滤波器。,图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性,1.模拟低通滤波器的指标和设计方法 模拟低通滤波器的设计指标有p, p,s和s。其中p和s分别称为通带截
4、止频率和阻带截止频率,p是通带(=0p)中的最大衰减系数,s是阻带s的最小衰减系数,p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性,可表示成:,以上技术指标用低通滤波器的幅度特性图表示。图中c称为3dB截止频率?,模拟低通滤波器的设计方法是: (1)根据滤波器的技术指标设计传输函数Ha(s)的幅度平方函数,它与系统函数有关系 上式的关系从Ha(s)的因式相乘表达式推出。 (2)根据幅度平方函数和系统的极点应该在s的左半平面,求出传递函数。,2. 巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数用下式和图表示。想一想阶数N与幅频特性下降坡度的关系?,为了求出幅度平方函数,将|Ha(
5、j)|2写成s的函数: 此幅度平方函数有2N个极点,极点 它们均匀的分布在半径为c的圆上,间隔是/N弧度。,例如N=3的三阶巴特沃斯滤波器,为形成稳定的滤波器,在6个极点中取s平面左半平面的3个极点构成Ha(s),而右半平面的3个极点构成Ha(-s)。三阶巴特沃斯滤波器的极点分布如下:,如此可得到系统函数,由于各滤波器的幅频特性不同,为使设计统一,将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化,归一化后的Ha(s)表示为 式中,s/c=j/c。 令=/c,称为归一化频率;令p=j,p称为归一化复变量,这样归一化巴特沃斯的传输函数为,(6.2.10),(6.2.11),式中,pk为归一化极
6、点,用下式表示: 这样设计巴特沃斯滤波器的步骤是: a. 根据技术指标确定阶数N, b. 求出归一化极点pk, c. 求出归一化传递函数Ha(p) , d. 用c去归一化到实际传递函数Ha(s) 。,从技术指标推出N和c: 用上式求出的N可能有小数部分,应取大于等于N的最小整数?。 当 阻带指标有富裕 当 通带指标有富裕,如果将极点代入传递函数的因式分解式,可以得到的Ha(p)的多项式表达式。 早有科学家把两种传递函数形式的系数列成表格,供我们设计时查找。 参阅书上157158页。,归纳起来,低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下: (1)根据技术指标p、p、s和s,求出滤波器的阶数N。 (2) 计
7、算或者查表求出归一化传输函数Ha(p)。 (3)用p=s/c代入Ha(p),得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。,表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数,例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz,通带最大衰减p=2dB,阻带截止频率fs=12kHz,阻带最小衰减s=30dB。请按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解:(1) 确定阶数N。 ,(2) 有两种方法。 法一:按照(6.2.12)式计算出极点,带入(6.2.11)式,得到归一化传输函数,法二:直接查表6.2.1的N=5,得到三种结果: 极点是-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878, -1.0000。 系
8、统函数的多项式形式 系统函数的因式分解形式,(3) Ha(p)去归一化。先求3dB截止频率c。 如果希望阻带指标有富裕,则,将p=s/c代入Ha(p)中得到:,用MATLAB来设计该题,通带指标有富裕。 clear;close all; fp=5000;fs=12000;rp=2;rs=30; n,fc=buttord(fp,fs,rp,rs,s);%求阶数和半功率点频率 b,a=butter(n,fc,s);%求系统函数的分子分母系数 hf,f=freqs(b,a);%求系统函数的频谱 plot(f,abs(hf);xlabel(f/Hz);ylabel(|H(f)|); axis(0,1.
9、2e4,0,1.2);grid shg,3. 切比雪夫滤波器的设计方法 图6.2.5分别画出阶数N=3和N=4的切比雪夫型滤波器幅频特性。,图6.2.5 切比雪夫型滤波器幅频特性,其幅度平方函数用A2()表示: 式中,为小于1的正数,表示通带内幅度波动的程度。愈大,波动幅度也愈大。p称为通带截止频率。令=/p,称为对p的归一化频率。CN(x)称为N阶切比雪夫多项式,定义为,图6.2.6示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。 由图可见: (1)切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内; (2)当|x|1时,CN(x)是双曲线函数,随x单调上升。,图6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项
10、式曲线,平方幅度函数与三个参数、p和N有关。其中与通带内允许的波动大小有关,定义允许的通带波纹用下式表示:,因此,图6.2.7 切比雪夫型与巴特沃斯低通的A2()曲线,当频率为s时,切比雪夫型滤波器的幅度平方函数A2(s)为 由此解出,当频率为c时,切比雪夫型滤波器的幅度平方函数A2(s)为1/2,由此解出 以上p、和N确定后,可以求出滤波器的极点,并确定Ha(p),p=s/p。求解的过程是很复杂的。下面仅介绍一些有用的结果。 设切比雪夫滤波器Ha(s)的极点为si=i+ji,极点的实部和虚部是,可以看出,极点的实部和虚部的关系是椭圆方程, 式中的psh是短半轴(在实轴上),pch是长半轴(在
11、虚轴上)。因此切比雪夫滤波器的极点分布在这个椭圆上。,设N=3,三阶切比雪夫滤波器的极点分布如下。,为了稳定,用左半平面的极点构成系统函数Ha(p),即 式中c是待定系数。根据切比雪夫滤波器的幅度平方函数用力推导,c=2 N-1,所以归一化的传输函数为 去归一化后的传输函数为,按照以上分析,设计切比雪夫型滤波器的步骤是: (1)根据技术要求p、p、s和s确定N和。 (2)求滤波器的极点,写出归一化系统函数。,(3)将Ha(p)去归一化得到实际的Ha(s)。,例6.2.2 设计低通切比雪夫滤波器。要求通带截止频率fp=3kHz,通带最大衰减p=0.1dB,阻带截止频率fs=12kHz,阻带最小衰
12、减s=60dB。 解 (1)根据技术要求p、p、s和s确定N和。,(2)求滤波器的极点,写出归一化系统函数。 取N=5,算出极点pi,得到归一化系统函数: (3)将Ha(p)去归一化得到实际的Ha(s)。,用MATLAB解决这个复杂的题: clear;close all; fp=3e3;fs=12e3;rp=0.1;rs=60; n,fc=cheb1ord(fp,fs,rp,rs,s)%求阶数和通带频率 b,a=cheby1(n,rp,fc,s)%求系统函数的系数 hf,f=freqs(b,a);%求系统函数的频谱 plot(f,abs(hf);xlabel(f/Hz);ylabel(|H(f
13、)|); grid,4. 模拟高通、带通、带阻滤波器的设计 模拟高通、带通、带阻滤波器的传输函数可以由低通滤波器的传输函数通过频率变换求得。 为了防止频率变换时引起符号混淆,先规定符号如下: 低通滤波器的传递函数用G(s)表示,s=j;归一化频率为,p=j称为归一化拉氏复变量。 想要的滤波器的传递函数用H(s)表示,s=j;归一化频率为,q=j称为归一化拉氏复变量。,(1) 设计模拟高通滤波器 低通滤波器和高通滤波 器的幅频特性如左图所示。 低通的从0到时的 特性对应高通的从到0 时的特性,所以和之间 的关系为 它是低通和高通转换的依据,例如:,模拟高通滤波器的设计步骤: a. 把高通滤波器的
14、指标按关系=1/转换成低通滤波器 的指标, b. 设计归一化低通滤波器G(p), c. 用p=1/q转换G(p) 成归一化高通H(q), d. 将q=s/c代入H(q)中,得模拟高通H(s)。,例6.2.3 设计高通滤波器,要求fp=200Hz,fs=100Hz,幅度特性单调下降,fp处最大衰减为3dB,阻带最小衰减s=15dB。 解:把高通滤波器的指标按关系=1/转换成低通滤波器的指标。 高通的fp=200Hz, fs=100Hz, p=3dB,s=15dB, p=fp/fc=1,s=fs/fc=0.5, p=1, s=2, 设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器,故, 设计归一化低通G
15、(p)。采用巴特沃斯滤波器,故,用p=1/p=c/s代入G(p)中求模拟高通H(s)。,用MATLAB来解决问题: clear;close all; fp=1;fs=2;rp=3;rs=15;%归一化低通的指标 n,fc=buttord(fp,fs,rp,rs,s)%求阶数和半功率点频率 b,a=butter(n,1,s)%求归一化系统函数的系数 printsys(b,a)%打出归一化系统函数的公式 c,d=lp2hp(b,a,200*2*pi)%低通转到高通 printsys(c,d)%打出高通系统函数的公式 hf,f=freqs(c,d);%求高通系统函数的频谱 plot(f/2/pi,a
16、bs(hf);xlabel(f/Hz);ylabel(|H(f)|); axis(0,600,0,1);grid%阻带指标有富裕,(2) 设计模拟带通滤波器 低通滤波器和带通滤波器的幅频特性如下图所示。 低通的从到0到时的特性对应带通的从0到0到的特性。,图中u和l分别称为带通滤波器的通带上限频率和通带下限频率;B= ul称为通带带宽,作为归一化参考频率。 s1和s2分别称为下阻带上限频率和上阻带下限频率。 02= l u,0称为通带中心频率。归一化边界频率用下式计算:,由与的对应关系,得到低通到带通的频率变换公式 :,由p与u的对应关系知道,,下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于,所以
17、用变换公式得到: 将q=s/B代入上式去归一化 ,得到由归一化低通转换成带通的计算公式 :,模拟带通滤波器的设计步骤: a. 把模拟带通滤波器的技术指标归一化, b. 确定归一化低通技术指标, s与-s的绝对值可能不相等,一般取绝对值小的s,保证在较大的s处系统也能满足要求。通带最大衰减仍为p,阻带最小衰减亦为s。,c. 设计归一化低通G(p)。 d. 用变换公式将G(p)转换成带通H(s)。 例6.2.4 设计模拟带通滤波器,要求它的通带带宽B=2200rad/s,中心频率0=21000rad/s,通带内最大衰减p=3dB,阻带s1=2830rad/s和s2=21200rad/s,阻带最小衰
18、减s=15dB。 解: a. 把模拟带通滤波器的技术指标归一化,, 0=21000rad/s, s1=2830rad/s, s2=21200rad/s, B=2200rad/s; 0=0/B=5,s1=s1/B=4.15,s2=s2/B=6. b. 确定归一化低通技术指标, 取s=1.833,p=3dB,s=15dB c. 设计归一化低通G(p)。 采用巴特沃斯型,有,取N=3,查表6.2.1,得,d. 用变换公式将G(p)转换成带通H(s)。 ,用MATLAB来解决问题: clear;close all; fp=1;fs=1.833;rp=3;rs=15;%归一化低通的指标 n,fc=but
19、tord(fp,fs,rp,rs,s)%求阶数和半功率点频率 b,a=butter(n,1,s)%求归一化低通系统函数的系数 printsys(b,a,p)%打出归一化低通系统函数的公式 c,d=lp2bp(b,a,1e3*2*pi,200*2*pi)%低通转到带通 printsys(c,d)%打出带通系统函数的公式 hf,f=freqs(c,d,1000);%求带通系统函数的频谱 plot(f/2/pi,abs(hf);xlabel(f/Hz);ylabel(|H(f)|); axis(600,1600,0,1.2);grid,(3) 设计模拟带阻滤波器 低通与带阻滤波器的幅频特性如图6.2
20、.11所示。,低通的从到0到时的特性对应带阻的从0 到 和从0到0的特性。,图中,l和u分别是下通带截止频率和上通带截止频率,s1和s2分别为阻带的下限频率和上限频率,0为阻带中心频率,20=ul,阻带带宽B=ul,B作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为 u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s2/B, 20=ul 根据与的对应关系,可得到: 它是低通到带阻的频率变换公式。且ul=1,p=1。,由于p=j,利用变换公式去归一化,可得 上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。,设计带阻滤波器的步骤: a.把模拟带阻滤波器的技术指标归一化, l=l/B,u=u/B,s1=s
21、1/B, s2=s2/B,20=ul b. 确定归一化低通技术指标, 取s和s的绝对值较小的s;通带最大衰减仍然为p,阻带最小衰减为s。 c. 设计归一化低通G(p)。 d. 用变换公式将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。,例6.2.5 设计模拟带阻滤波器,其技术要求为: l=2905rad/s, s1=2980rad/s, s2= 21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB, s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。 解: a. 归一化模拟带阻滤波器的技术要求: l=2905,u=21105, s1=2980,s2=21020, 20=lu=421000025,B=ul=22
22、00, l=l/B=4.525,u=u/B=5.525, s1=s1/B=4.9,s2=5.1; 20=lu=25 b. 归一化低通的技术要求: c. 设计归一化低通G(p)。,d. 用变换公式将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。,用MATLAB来解决问题: clear;close all; fp=1;fs=4.95;rp=3;rs=25;%归一化低通的指标 n,fc=buttord(fp,fs,rp,rs,s)%求阶数和半功率点频率 b,a=butter(n,1,s)%求归一化低通系统函数的系数 printsys(b,a,p)%打出归一化低通系统函数的公式 c,d=lp2bs(b,a,sqr
23、t(905*1105)*2*pi,200*2*pi)%低通转到带阻 printsys(c,d)%打出带阻系统函数的公式 hf,f=freqs(c,d,1000);%求带阻系统函数的频谱 plot(f/2/pi,abs(hf);xlabel(f/Hz);ylabel(|H(f)|); axis(700,1400,0,1);grid,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR 数字低通滤波器,利用模拟滤波器来设计IIR数字滤波器是比较方便的。为了保证此法设计的H(z)稳定且满足技术要求,转换关系必须满足: (1) 由因果稳定的模拟滤波器变来的数字滤波器仍是因果稳定的。 (2)数字滤波器的频率响应与模拟滤波
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