概率论与数理统计15-6节.ppt
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1、第五节 独立重复试验,独立重复试验的特征: 1、每次试验都在相同条件下进行; 2、每次试验的结果是相互独立的; 3、每次试验有有限个确定的结果;,如果试验共进行n次,称为n重独立重复试验.,4、每次试验的结果发生的概率相同;,比如:多次掷骰子;,产品有放回地抽样检验。,如果每次试验的结果 有且仅有两种: ,,称为n重伯努利试验.,贝努利,(17001782) 瑞士,下面我们来研究n重伯努利 试验中事件A发生k次的概率。,例1 设在10件产品中有1件废品,现进行3次有放回的抽样检查,求抽得2件废品的概率。,解 设 “第 次抽取时抽到废品”,“共抽得2件废品”,例1 设在M件产品中有N件废品,现进
2、行n次有放回 的抽样检查,求抽得k件废品的概率。,解 设 “第 次抽取时抽到废品”,“共抽得k件废品”,n 重伯努利试验中事件A恰好出现 k 次的概率简记为 b ( k;n,p).,则 b ( k;n,p) Cnk pk qnk.,例2,一条自动生产线上产品的一级品率为0.6,检查10件,求至少有两件一级品的概率P(B)。,解:这是n10的10重伯努利试验,p0.6,依题意,例3,向单位圆中随机抛入3个点,求这3个点中恰有2个点落在第1象限的概率。,解 抛入3个点相当于3重贝努利试验,,所求概率为,3个点中恰有2个点落在第1象限的事件记为B,由几何概率,点落在第1象限的概率为1/4,思考,彩票
3、投注点的门口有一副对联: “多买少买多少要买,早中晚中早晚要中”,每次开奖,中奖的概率为,而坚持十年,从未中奖的概率为,每年按52周算,则十年中奖1次的概率为,你如何理解“早晚要中”?,假定每周开奖一次,,每次中奖的概率为十万分之一,,趣例-“惊人的预测”,一天,乔治在自己的邮箱中发现一封陌生的邮件,他好奇地打开了它:“亲爱的球迷,我们的统计学家已经设计了准确预测足球比赛的方法。今晚英国足球杯第三场考文垂队对谢非尔队,我们以95%的概率预测考文垂队获胜。”,乔治看后一笑。,乔治并不在意。,当晚看比赛时,考文垂队果然获胜。,三周后,他又收到一封邮件:“亲爱的球迷,我们的统计学家已经设计了准确预测
4、足球比赛的方法。今晚考文垂队对米德尔斯堡队,我们以95%的概率预测米德尔斯堡队获胜。”,当晚,米德尔斯队果然获胜。,乔治不由心中一震。,一周后,他又收到第三封邮件:“亲爱的球迷,我们的统计学家已经设计了准确预测足球比赛的方法。今晚我们以95%的概率预测米德尔斯队将败给特伦米尔队。”。,乔治发现这次预测又对了时不由大吃一惊。,第四次,预测仍然是对的。,第五次,预测还是对的。,这之后,乔治又收到一封邮件:“亲爱的球迷,你是否发现我们已经多次预测成功。如果你支付200英镑,我们将为你预测以下多次比赛结果,并保证正确率在95%以上。”,乔治想:如果发邮件的人只是猜测,则5次猜测成功的概率为,这不太可能
5、!当然他们也可能与黑社会有关或有非法财团支持,但这与乔治无关-只要能挣钱就行!如果预测成功,可以从彩票商那里赚回20万.,乔治支付了200英镑.,实际上,这些骗子先发出8000封电子邮件,一半猜甲胜,一半猜乙胜,于是有4000人得到正确预测。第二次只给这些人发邮件,依次类推,可以有250人获得五次成功的结论。只要有100人付钱,就可骗到20000英镑!乔治就是这100人中的一个。,第六节 全概率公式和贝叶斯公式,1.完备事件组,如果n个事件A,A,A互不相容,并且它们的和是必然事件,称这n个事件构成一个完备事件组。,复 习,2.加法公式:,当A、B互斥时,有,P(AB)P( A)P(B)P(A
6、B),P(AB)P( A)P(B),3.乘法公式:,P(AB)P(B)P(A|B),当A、B独立时,有,P(AB)P()P(),互斥简化了加法公式,独立简化了乘法公式,这一节我们将要学习的,全概率公式,贝叶斯公式,是加法公式和乘法公式的综合运用,,主要用于计算一些复杂事件的概率。,例1 有三个箱子,分别编号为1,2,3,1 号箱装有 1 个红球4个白球,2号箱装有2个红球3个白球,3号箱装有3个红球. 某人从三箱中任取一箱,再从中任意摸出一球,求摸出红球的概率.,解,则 B= A1B+A2B+A3B,P(B)=P( A1B+A2B+A3B),摸出红球=从1号箱中摸出红球 或 从2号箱中摸出红
7、球 或 从3号箱中摸出红球,设 Ai=从i号箱中摸, i=1,2,3; B =摸出红球,=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),此题不合适要修改,A1B,A2B,A3B,A1,A2,A3构成一个完备事件组,B 的发生必然伴随着A1 , A2 , A3之一同时发生,即,故,如果事件A1,A2,An构成一个完备事件组,且有P(Ai)0,i =1,2,n,则对任一事件B,有,全概率公式(定理1.9):,某一事件B的发生有各种可能的原因,,全概率公式可以这样来理解:,每一原因都可能导致B发生,故B发生的总概率是各原因引起的B发生概率的总和。,P(AiB), P(Ai)P(B |Ai),这些原因我
8、们用A1、A2、 、 An等来表示,,其中原因Ai 对总概率P(B)所作的贡献为,全概率 公式,例2 某厂的一批产品,由甲、 乙 、丙三名工人生产,其产量分别占总产量的25%、35%、40%,若已知他们的次品率依次为5%、4%、2%,现在从这批产品中任意抽取一件,求这一件是次品的概率.,解 用A1、A2 、A3分别表示“甲、乙、丙生产的产品”, 用B表示“抽取的是次品”,则 A1 、A 、A 构成一个完备事件组,由全概率公式得,例(教材P35) M地为甲种疾病多发区,该地共有南、北、中三个行政小区,其人口比例为9:7:4。据统计资料,甲种疾病在该地区三个小区内的发病率依次为4,2,5,试求出M
9、地甲种疾病的发病率。,解:设Ai =“某人是第i个小区内的人”,i=1,2,3 B= “M地的人得病”,,则 A1,A2,A3构成完备事件组, 由全概率公式,全概率公式应用的关键 在于寻找或构造一个完备事件组,例 3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7 .飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.,解 设 A=飞机被击落,由全概率公式,则 A=C1A+C2A+C3A,Ci =飞机被i人击中 , i=1,2,3,Bi =飞机被第i人击中 , i=1,2,3,显然1,2,3构成
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