概率论第一章(56).ppt
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1、1.5 条件概率,一、条件概率 二、乘法公式 三、全概率公式 四、贝叶斯公式,一、条件概率,引例 袋中有7只白球,3只红球;白球中 有4只木球,3只塑料球;红球中有2只木球,1只塑料球。现从袋中任取1球,假设每个球被取到的可能性相同。 设 A: 取到的球是白球。B:取到的球是木球。求:1)P(A); 2) P(AB) ; 3) 在已知取出的球是白球的条件下,求取出的是木球的概率。,解:,列表,3). 所求的概率称为在事件A 发生的条件下 事件B 发生的条件概率。记为,定义: 设 A、B 为两事件, P ( A ) 0, 则称 为事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率。记为,若事件A已发生
2、, 为了使 B也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变成了新的样本空间 , 于是 有上式。,条件概率 也是概率,它符合概率的定义,具有概率的性质:,可列可加性,规范性,非负性,条件概率的计算,1) 用定义计算:,P(B)0,2)从加入条件后改变了的情况去算 (即在缩小的样本空间中算)。,P(A|B)=,例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解: 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,解法1:,解法2:,已知某厂生产的灯泡能用到1000小时的概 率为0.8, 能用
3、到1500小时的概率为0.4 , 求已用 到1000小时的灯泡能用到1500小时的概率。,解 令 A :灯泡能用到1000小时; B :灯泡能用到1500小时。,所求概率为,例2,某人外出旅游两天,据天气预报,第一天下雨的概率为0.6, 第二天下雨的概率为0.3, 两天都下雨的概率为0.1. 当第一天下雨时,求第二天不下雨的概率。,解: 设A1, A2 分别表示第一天下雨与第二天下雨,例3,利用条件概率求积事件的概率,推广:,二、乘法公式,有52张扑克牌。 (1)依次取三张(无放回),求三张都是的概率。 (2)一次性抽取三张,三张都是的概率,例4,(1),一盒中装有5件产品,其中有3件正品,
4、2件次品,从中不放回地取两次,每次1件,求: (1)都取得正品的概率 (2)第二次取得正品的概率 (3)第二次才取得正品的概率,解: 令 Ai 为第 i 次取到正品 i=1,2。,(1),(2),例,(3) 第二次才取得一等品的概率,例6 P(16) 波里亚罐子模型,一个罐子中包含 b 个白球 和 r 个红球. 随机地抽取一个 球,观看颜色后放回罐中,并且再加进 c个与所抽出的球颜色相同的球. 连续进行四次,试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,解: 设 Wi =第i次取出是白球, i = 1, 2, 3, 4,Rj =第j次取出是红球, j =1,2,3,4,A= W1 W2
5、R3 R4,利用乘法公式:,P(W1W2R3R4),=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),当 c0 时,由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率。为一传染病模型。 每次发现一个传染病患者,都会增加再传染的概率。,三、全概率公式与Bayes 公式,引例 有三个箱子,分别编号为1, 2, 3。1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,(1)求取得红球的概率。(2)已知取出的是红球,求此球来自1号箱的概率。,(1) 解:记 Bi = 球取自 i 号箱 , i=1, 2, 3; A =取得红球
6、,B1A, B2A, B3A 两两互斥,将此例中所用的方法推广到一般的情形,就得到在概率计算中常用的全概率公式。,全概率公式,全概率公式的来由,“全”部概率 P( A) 被分解成了许多部分之和。,它的理论和实用意义在于:,在较复杂情况下直接计算 P( A ) 不易,但 A 总是伴随着某个 Bi 出现,适当地去构造这一组 Bi 往往可以简化计算。,( 2 ) 解:,引例 有三个箱子,分别编号为1, 2, 3。1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,(1)求取得红球的概率。(2)已知取出的是红球,求此球来自1号箱的概率。,AB1
7、,Bayes公式,这类问题,是“已知结果求原因”是已知某结果发生条件下,求各原因发生可能性大小。,设B1,B2,Bn是两两互斥的事件,且P(Bi)0,i=1,2,n, 另有一事件A,它总是与B1,B2,Bn 之一同时发生,则,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件A已发生的条件下,寻找导致A发生的每个原因的概率。,贝叶斯公式在实际中有很多应用,它可以帮助人们确定某结果(事件 A)发生的最可能原因。,每100件产品为一批,已知每批产品中的 次品数不超过4件,每批产品中有 i 件次品 的概率为:,从每批产品中不放回地取10件进行检验,若 发现有不合格产品,则认为这批产品不
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