电路分析基础(马颖 西电版)第5章 正弦交流电路.ppt
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1、第5章 正弦交流电路,5.1 正弦交流电的基本概念 5.2 正弦交流电的相量表示 5.3 正弦交流电路中的电阻、电感和电容 5.4 基尔霍夫定律的相量形式 5.5 阻抗串联电路的分析 5.6 导纳并联电路的分析 5.7 正弦交流电路的功率,5.8 功率因数的提高 5.9 交流电路中的谐振 本章小结 阅读材料:示波器简介 实验8 典型电信号的观察与测量 实验9 日光灯功率因数的提高,5.1 正弦交流电的基本概念 交流电(AlternatingCurrent)也称“交变电流”,简称AC,一般指大小和方向随时间作周期性变化的电压或电流。交流电可以有效传输电力,它的最基本的形式是正弦交流电,但实际上还
2、有其他的波形,例如三角波和方波。生活中使用的市电就是具有正弦波形的交流电。,5.1.1 正弦交流电量的三要素 大小与方向均随时间按正弦规律作周期性变化的电流、电压、电动势分别称为正弦交流电流、电压、电动势。在某一时刻t的瞬时值可用三角函数式(解析式)来表示,即,式(5-1)中,u、i、e分别为电压、电流和电动势的瞬时值;Im、Um、Em分别叫做交流电流、电压、电动势的最大值(也叫做峰值或振幅);叫做交流电的角频率;i、u、e分别叫做电流、电压、电动势的初相位或初相。以电流为例,其波形如图5-1所示。由于角频率、最大值和初相可决定一个正弦量,因此将它们称为正弦量的三要素。,图5-1 正弦量波形示
3、意图,1.最大值及有效值 正弦交流电量瞬时值中的最大值称为振幅或峰值。它表明了正弦量振动的幅度。在公式中分别用Im(单位为安培A)、Um、Em(单位为伏特V)表示。 正弦量的瞬时值大小是随时间变化的,这给计量正弦量的大小带来了困难。电路的一个重要作用是电能转换,正弦量的瞬时值不能确切反映电路在能量转换方面的效果,为此,我们引入正弦交流电有效值的概念,它是根据热效应定义的。,有效值的定义为:让交流电流i和直流电流I分别通过两个阻值相等的电阻R,如果在相同的时间T内,两个电阻消耗的能量相等,则称该直流电流I的值为周期电流i的有效值。有效值用大写字母表示,如I、U等。 由此可知,在相同时间T内电阻R
4、消耗的能量为 即交流电流的有效值为,将正弦交流电流的瞬时值表达式代入上式,可得 由此得出正弦量有效值和最大值的关系为,(5-2),(5-3),【例5-1】 日常所说的照明电压为220V,其最大值是多少? 解 在日常生活和生产中常提到的220V、380V电压指的是交流电的有效值,用于测量交流电压和交流电流的各种仪表所指示的数字以及电气设备铭牌上的额定值也是有效值。应当注意,并非在所有场合中都用有效值来表征正弦交流电的大小。例如,在确定交流电气设备的耐压值时,就应考虑电压的最大值。,【例5-2】 一个电容器的耐压值为250V,能否用在220V的单相交流电源上? 解 因为220V的单相交流电源为正弦
5、电压,其振幅值为311V,大于电容器的耐压值250V,电容器可能被击穿,所以不能接在220V的单相电源上。 注意:各种电气元件和电气设备的绝缘水平(耐压值)要按最大值考虑。,2.角频率、周期与频率 角频率:表征正弦电量每秒内变化的电角度,用表示,单位为弧度/秒(rad/s)。 周期:正弦电量变化一周所需的时间称为周期,通常用T表示,单位为秒(s)。常用单位有毫秒(ms)、微秒(ms)、纳秒(ns)。 频率:正弦电量每秒钟变化的周期数称为频率,用f表示,单位为赫兹(Hz)。周期和频率互为倒数,即,(5-4),我国和世界上大多数国家一样,电力工业的标准频率即所谓的“工频”是50Hz,其周期为0.0
6、2s,少数国家(如美国、日本)的工频为60Hz。在其他技术领域中也要用到各种不同的频率,例如:声音信号频率约为20Hz20000Hz,广播中波段载波频率为535Hz1605Hz,电视用的频率以MHz计。 、T、f三者都反映了正弦量变化的快慢。在一个周期T内,正弦量所经历的电角度为2弧度,如图5-2所示。由角频率的定义可知,角频率与频率及周期间的关系为,(5-5),图5-2 角频率与周期及频率间的关系,我国使用的工频电信号其周期频率f=50Hz,T=1/f=0.02s,则角频率为 =100rad/s=314rad/s 3.初相及相位 相位是反映正弦交流电任一时刻状态的物理量。正弦交流电的大小和方
7、向是随时间变化的,它的表达式是i(t)=Imsin(t+i),其中的t+i相当于角度,它反映了交流电任一时刻所处的状态,是在增大还是在减小,是正的还是负的等,因此把t+i叫做相位或者相位角。,初相位指t=0时所对应的相位角0,它反映了计时起点的状态,取值范围在180+180 。图5-3给出了几种不同计时起点的正弦电流的解析式和波形图。由波形图可以看出: (1)若正弦量波形起点就在坐标原点,则初相i=0,如图5-3(a)所示。 (2)若正弦量波形起点在坐标原点左侧,则初相i0,如图5-3(b)所示。 (3)若正弦量波形起点在坐标原点右侧,则初相i0,如图5-3(c)所示。,图5-3 初相不同时的
8、正弦电流波形,【例5-3】 已知一个正弦电压 。 (1)计算其三要素和周期、频率; (2)画出波形图; (3)计算t=0.01s时的瞬时值。 解 (1)三要素:最大值 ,角频率=314rad/s,初相位 ,周期 ,频率 。 (2)波形图如图5-4所示。,图5-4 例5-3波形图,(3)t=0.01s时,正弦电压瞬时值为,【例5-4】 已知一个电阻元件上的电压波形如图5-5所示,时间t单位为ms。 (1)试写出该正弦量的三要素; (2)写出电压的瞬时值表达式; (3)若参考方向与图中电压方向相反,请重新写出该电压的表达式。 解 (1)从波形可知:周期T=16ms,则角频率,图5-5 例5-4电压
9、波形图,初相 最大值 Um=10V (2)电压的瞬时值表达式为 (3)当参考方向与图中电压方向相反时,其电压表达式可写成,5.1.2 相位差 两个同频率正弦量的相位之差称为相位差,其值等于它们的初相之差。 设任意两个同频率的正弦量为 u1=U1msin(t+1) u2=U2msin(t+2) 则u1与u2的相位差为 12=(t+1)(t+2)=12(5-6) 规定相位差的取值范围为-。相位差决定了两个正弦量的相位关系,如图5-6所示。,图5-6 同频率正弦量的几种相位关系,下面分别对这几种相位关系加以讨论: (1)超前或滞后:12=120,且12,如图5-6(a)所示,当u1达到零值或振幅值后
10、,u2需经过一段时间才能到达零值或振幅值。因此,u1超前于u2的角度为12,或称u2滞后于u1。 (2)同相:12=12=0,称这两个正弦量同相,如图5-6(b)所示。 (3)反相:12=12=,称这两个正弦量反相,如图5-6(c)所示。 (4)正交:12=12= ,称这两个正弦量正交,如图5-6(d)所示。,【例5-5】 已知两个正弦波 u1=5sin(6t+10)V和u2=4cos(6t+70)V,计算其相位差,并说明哪个超前。 解 首先把u1改写成用余弦函数表示,即 u1=5sin(6t+10) =5cos(90+6t+10) =5cos(6t+100)V 故相位差为 12=12=6t+
11、100(6t+70)=300 因此,这两个正弦量的相位差是30,u1超前u2。,【例5-6】 分别写出图5-7中电流i1、i2的相位差,并说明i1与i2的相位关系。 解 (1)由图5-7(a)可知1=0,2= ,12=12= 0,表明i1超前于i2 。,5.2 正弦交流电的相量表示 前面介绍的两种正弦量表示方法:瞬时值表达式及波形图表示法中,都具有最大值、角频率及初相这三个主要特征,而这些特征量还可以用其他方法来描述。不同的描述方法之间能够相互转换,它们都是分析与计算正弦交流电路的必要工具。其中,用复数表示正弦电量,即相量表示法,可以大大简化电路的分析与计算。,5.2.1 正弦量的旋转矢量表示
12、法 假设有一个正弦电流i=Imsin(ti),用旋转矢量表示该正弦电流的方法如下:在一个直角坐标系中,过原点做一条有向线段,它与横轴的夹角等于正弦量的初相位i,线段的长度等于正弦量的最大值Im,并以角速度绕原点逆时针旋转,旋转中的线段在纵轴上的投影,与正弦量在该时刻的瞬时值保持一一相等的对应关系,如图5-8所示。像这样旋转的有向线段称为旋转矢量,它不仅表示了正弦量的瞬时值,还表示了正弦量的三要素。,图5-8 旋转矢量示意图,对于任意时刻t,各旋转矢量之间的相对位置不变。这样,即可用一个长度等于正弦量最大值,与横轴夹角为初相角的静止矢量来表示正弦量。这种静止在t=0时刻的旋转矢量称为相量,相量的
13、表示方法为在大写字母上方加一个“”。图5-8所示的旋转矢量对应的相量如图5-9所示。 正弦量的相量是用复数来表示正弦量的最大值和初相位的,因此学习相量法之前,应首先复习巩固一下有关复数的概念及其运算法则。,图5-9 相量图,5.2.2 复数及复数运算 一个复数是由实部和虚部组成的。设A为一复数,a和b分别为其实部和虚部,则 A=a+jb 取一直角坐标系,其横轴称为实轴,以+1为单位;纵轴称为虚轴,单位是 (在数学中虚轴单位用i表示,这里为了与电流符号i相区别而用j表示),这两个坐标轴所在的平面称为复平面。每一个复数都可以在复平面上用一有向线段来表示,如图5-10所示。,图5-10 用矢量表示复
14、数,图中原点指向A的有向线段长度称为复数A的模,用r表示;模r与正向实轴的夹角称为复数A的幅角,用表示,模r与幅角的大小决定了该复数的唯一性。 复数A在实轴上的投影是它的实部数值a;复数A在虚轴上的投影是它的虚部数值b。 1.复数的表示 复数有代数式、三角函数式、指数式及极坐标式四种表示形式。 (1)代数形式: A=a+jb,式中 为虚部单位。a、b均为实数,分别为复数A的实部和虚部,用符号表示为:取复数A的实部ReA=a;取复数A的虚部ImA=b。 (2)三角函数形式: A=r(cos+jsin) 式中r为复数A的模;为复数A的幅角。 (3)指数形式: A=rej 指数形式是将三角函数形式用
15、数学中的尤拉公式ej=cos+jsin替代得来的。,(4)极坐标形式: A=r 在以后的运算中,代数形式和极坐标形式是最常用的,因此对它们之间的换算应十分熟练。由图5-10可知,复数几种形式之间的相互转换关系为 实部a=rcos 虚部b=rsin 复数的模 复数的幅角,【例5-7】 写出复数A1=4j3,A2=3+j4的极坐标形式。 解 A1的模为 辐角为 则A1的极坐标形式为 A1=537,(在第四象限),A2的模为 辐角为 则A2的极坐标形式为 A2=5127,(在第二象限),【例5-8】 写出复数A=100120的三角函数形式和代数形式。 解 三角函数形式为 A100(cos120jsi
16、n120) 代数形式为 A100(cos120jsin120)50j50,2.复数的四则运算 设有两个复数: A1=a1+jb1=r11, A2=a2+jb2=r22 加、减运算应用代数形式计算较为方便: A=A1A2=(a1+jb1)(a2+jb2)=(a1a2)+j(b1b2) (5-7) 也可通过图像法来求解,如图5-11所示,应用平行四边形法则分别实现复数的加、减法。 乘、除法运算应用极坐标形式计算较为方便: A=A1A2=r1r2(1+2) (5-8),(5-9),图5-11 用平行四边形法则求和、差的方法,【例5-9】 已知复数A1553,A23。求A1A2和A1A2,并在复平面内
17、画出矢量图。 解 A15533j4 A1A23j436j4=6.333.7 A1A23j43490 矢量图如图5-12所示。,图5-12 例5-9图,5.2.3 正弦量的相量表示法 1.正弦量的相量表示 与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。如正弦交流电流i、电压u的瞬时值表达式分别为 它们的有效值、最大值相量分别表示为 和 ,即 注意:相量是一个表示正弦电流的复数,但它不等于正弦量。,【例5-10】 已知工频条件下,两正弦电压的相量分别为 , 。试求这两个正弦电压的瞬时值表达式。 解 由题可知,频率f50Hz,则角频率为=2f=250=100rad/s 两正弦电压的最大值分别为,初相
18、分别为 1=60,2=-30 所以两正弦电压的瞬时值表达式为,2.相量图及相量的运算 正弦量的相量和复数一样,可以在复平面上用矢量表示,相量的长度是正弦量的有效值,相量与正实轴的夹角是正弦量的初相0。这种表示相量的图形称为相量图。但是,只有同频率的多个正弦量对应的相量画在同一复平面上才有意义,把不同频率的正弦量相量画在同一复平面上是没有意义的。 因此,只有同频率的正弦量才能应用相量运算,运算方法可按复数的运算规则进行。,【例5-11】 已知同频率正弦量的瞬时值表达式分别为i=10sin(t+30)A, ,分别写出电流和电压的有效值相量,并绘出相量图。 解 由瞬时值表达式可得 相量图如图5-13
19、所示。,例5-11相量图,【例5-12】 电路如图5-14所示,已知i1、i2分别为 i1=5sin(t+37)A i2=10sin(t53)A 试求电流i,并绘出相量图。 解 将i1、i2用相量表示为 =537A=(4+j3)A =1053A=(6j8)A 根据KCL,有 i=i1+i2,,则 所以电流i=11.8sin(t26.6)A,相量图见图5-15。,=(4+j3)+(6j8)=10j5=11.826.6A,图5-14 例5-12图,图5-15 例5-12相量图,5.3 正弦交流电路中的电阻、电感和电容在 正弦交流电路中,由电阻、电感和电容中任一个元件组成的电路,称为单一参数正弦交流
20、电路。工程实际中的一些电路可以认为是由单一电路元件组成的交流电路,因此,单一参数电路的电压、电流关系是分析交流电路的基础。 5.3.1 电阻元件 纯电阻电路是最简单的交流电路,它由交流电源和电阻元件组成。人们平时使用的电灯、电炉、电热器、电烙铁等都属于电阻性负载,它们与交流电源连接构成纯电阻电路。,1.电阻元件上电压与电流的关系 如图5-16(a)所示,当线性电阻R两端加上正弦电压uR时,电阻中便有电流iR通过。 如图5-16(a)所示,电阻元件上的电压和电流为关联参考方向时,在任一瞬间,电压uR和电流iR的瞬时值仍服从欧姆定律,即 设电压的瞬时值表达式为uR=Umsin(t+u),代入式(5
21、-10)得,(5-10),图5-16 纯电阻电路模型,将上式与电流的瞬时值表达式iR=Imsin(t+i)相对比,可知它们具有如下关系: (1)数值关系。 电压与电流的最大值关系为 两边同除以 ,可得有效值关系为 说明电阻元件的最大值和有效值关系与瞬时值一样,都遵循欧姆定律。,(5-11),(2)相位关系。根据推导的电流瞬时值结果,有电压与电流的相位关系为t+u=t+i,即 u=i (5-12) 说明电阻元件的电流和电压之间为同频、同相关系。相应的波形图如图5-17(a)所示。 (3)相量关系。由瞬时值表达式 ,得电流有效值相量为,将式(5-11)和式(5-12)代入上式,可得 式(5-13)
22、同时表示了电压与电流之间的数值与相位关系,称为欧姆定律的相量形式,相应的相量图如图5-17(b)所示。,或,图5-17 纯电阻电路电压、电流波形图及相量图,2.纯电阻电路的功率 1)瞬时功率 电阻在任一瞬间所吸收的功率,等于电阻元件上电压的瞬时值与电流的瞬时值的乘积。瞬时功率用小写字母p表示,即p=ui。 电阻元件通过正弦交流电时,在关联参考方向下,瞬时功率为,图5-18画出了电阻元件的瞬时功率曲线。由上式和功率曲线可知,电阻元件的瞬时功率是随时间变化的正弦函数,其频率为电源频率的两倍。电压和电流为关联参考方向时,在任一瞬间,电压与电流同号,所以瞬时功率恒为正值,即p0。说明电阻元件在每一瞬间
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