Riemann积分与Lebesgue积分的关联性研究毕业论文.doc
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1、 本科毕业论文(设计)模板本科毕业论文(设计)论文题目:Riemann积分与Lebesgue积分的关联性研究 毕业设计(论文)原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺:所呈交的毕业设计(论文),是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知,除文中特别加以标注和致谢的地方外,不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果,也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体,均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。作 者 签 名: 日 期: 指导教师签名: 日期: 使用授权说明本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计(论
2、文)的规定,即:按照学校要求提交毕业设计(论文)的印刷本和电子版本;学校有权保存毕业设计(论文)的印刷本和电子版,并提供目录检索与阅览服务;学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文;在不以赢利为目的前提下,学校可以公布论文的部分或全部内容。作者签名: 日 期: 学位论文原创性声明本人郑重声明:所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名: 日期: 年 月 日学位论
3、文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定,同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅。本人授权 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名:日期: 年 月 日导师签名: 日期: 年 月 日注 意 事 项1.设计(论文)的内容包括:1)封面(按教务处制定的标准封面格式制作)2)原创性声明3)中文摘要(300字左右)、关键词4)外文摘要、关键词 5)目次页(附件不统一编入)6)论文主体部分:引言(或绪论)、正文、结论7)参考文
4、献8)致谢9)附录(对论文支持必要时)2.论文字数要求:理工类设计(论文)正文字数不少于1万字(不包括图纸、程序清单等),文科类论文正文字数不少于1.2万字。3.附件包括:任务书、开题报告、外文译文、译文原文(复印件)。4.文字、图表要求:1)文字通顺,语言流畅,书写字迹工整,打印字体及大小符合要求,无错别字,不准请他人代写2)工程设计类题目的图纸,要求部分用尺规绘制,部分用计算机绘制,所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁,布局合理,文字注释必须使用工程字书写,不准用徒手画3)毕业论文须用A4单面打印,论文50页以上的双面打印4)图表应绘制于无格子的页面上5)软件工程类课题应有程序清单,并
5、提供电子文档5.装订顺序1)设计(论文)2)附件:按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文(复印件)次序装订指导教师评阅书指导教师评价:一、撰写(设计)过程1、学生在论文(设计)过程中的治学态度、工作精神 优 良 中 及格 不及格2、学生掌握专业知识、技能的扎实程度 优 良 中 及格 不及格3、学生综合运用所学知识和专业技能分析和解决问题的能力 优 良 中 及格 不及格4、研究方法的科学性;技术线路的可行性;设计方案的合理性 优 良 中 及格 不及格5、完成毕业论文(设计)期间的出勤情况 优 良 中 及格 不及格二、论文(设计)质量1、论文(设计)的整体结构是否符合撰写规范? 优 良 中 及格
6、 不及格2、是否完成指定的论文(设计)任务(包括装订及附件)? 优 良 中 及格 不及格三、论文(设计)水平1、论文(设计)的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意?设计是否有创意? 优 良 中 及格 不及格3、论文(设计说明书)所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格建议成绩: 优 良 中 及格 不及格(在所选等级前的内画“”)指导教师: (签名) 单位: (盖章)年 月 日评阅教师评阅书评阅教师评价:一、论文(设计)质量1、论文(设计)的整体结构是否符合撰写规范? 优 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的论文(设计)任务(包括装订及附件)?
7、 优 良 中 及格 不及格二、论文(设计)水平1、论文(设计)的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意?设计是否有创意? 优 良 中 及格 不及格3、论文(设计说明书)所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格建议成绩: 优 良 中 及格 不及格(在所选等级前的内画“”)评阅教师: (签名) 单位: (盖章)年 月 日教研室(或答辩小组)及教学系意见教研室(或答辩小组)评价:一、答辩过程1、毕业论文(设计)的基本要点和见解的叙述情况 优 良 中 及格 不及格2、对答辩问题的反应、理解、表达情况 优 良 中 及格 不及格3、学生答辩过程中的精神状态
8、优 良 中 及格 不及格二、论文(设计)质量1、论文(设计)的整体结构是否符合撰写规范? 优 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的论文(设计)任务(包括装订及附件)? 优 良 中 及格 不及格三、论文(设计)水平1、论文(设计)的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意?设计是否有创意? 优 良 中 及格 不及格3、论文(设计说明书)所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格评定成绩: 优 良 中 及格 不及格教研室主任(或答辩小组组长): (签名)年 月 日教学系意见:系主任: (签名)年 月 日Riemann积分与Lebesgue积分的关联性研
9、究内容摘要 尽管Riemann积分的理论相对完备,但是在解决某些问题时,我们发现Riemann积分也存在着一些不足.本文从Riemann积分着手,通过具体的例子说明Riemann积分的缺陷.进而就有了改造Riemann积分的必要性,接着提出Lebesgue积分.然后对两者进行比较.文章的核心任务是基于我们已经掌握的Riemann积分与Lebesgue积分的基本知识,来探讨与归纳出两者间的区别与联系,通过比较两者的定义,主要性质,在微积分定理中的应用,积分与极限交换次序的条件,用具体的例子来说明Lebesgue.积分可以解决一些Riemann积分解决不了的问题.关键词:Riemann积分 Leb
10、esgue积分 区别 联系Study the correlation of Riemann integral and Lebesgue integralAbstractAlthough Riemann integral theory is relatively complete, when solve some problems, we found that there are also some Riemann integral. This text set about from the Riemann integral, through concrete examples that ill
11、ustrate the defects of Riemann integral. Then there is the transformation of the necessity of Riemann integral, and then put forward the Lebesgue integral. Then compare with both. The central task of the article is based on we have to master the basic knowledge of the Riemann integral and Lebesgue i
12、ntegral, to explore and induces the differences and relations between, by comparing the specific definition of the two, main properties and application in the theorem of the calculus, the integral and limit the exchange of order conditions, using concrete examples to illustrate the Lebesgue integral
13、 can solve some Riemann integral cannot solve the problem.Key words: Riemann calculus Lebesgue calculus Difference Relation 目 录序言1一、Riemann积分1(一)Riemann积分的定义1(二)Riemann积分的局限性2二、Lebesgue积分3(一)非负简单函数的积分3(二)非负可测函数的积分3(三)一般可测函数的Lebesgue积分4三、二者区别与联系4(一)Riemann积分与Lebesgue积分的定义的比较41.极限式定义的比较42.确界式定义的比较5(二)
14、Riemann积分与Lebesgue微积分在积分基本定理中的比较61.Riemann积分中微积分基本定理62.Lebesgue积分中微积分基本定理63.对两者的比较6(三)Riemann积分与Lebesgue在一些主要性质上的比较61.Riemann积分的主要性质62.Lebesgue积分的主要性质83.对两者的比较8(四)Riemann积分与Lebesgue在积分与极限交换次序条件的比较91. Riemann积分中积分与极限的交换次序的条件92. Lebesgue积分中积分与极限的交换次序的条件93. 对两者的比较11四、关于Riemann积分与Lebesgue积分的实例12五、总结15参考
15、文献16序言 远在古代人们就开始探究求解由曲边围成的图形的面积,由此可见,积分学始于求问题.我国古代数学家刘徽力在求解单位圆的面积是,所采用的方法是用许多非重叠的三角形组合在一起来拟合图形.时代的限制使他无法克服“无穷运算”的难题什么是无穷小,什么是不可分量这两大问题成为研究积分问题过程中的重大阻碍.最简单的曲线所成图形的面积可以用古代的穷竭法解决.如卡瓦列里用数列求和方法得到不定积分,牛顿将通过对微积分的研究,得出了积分运算是微分运算在一定意义上的逆运算,进而将不定积分的思想加以拓展,而莱布尼兹主要是从定积分的思想着眼探索,发现了积分运算是微分运算的逆运算由此演进到当今的牛顿莱布尼兹公式,即
16、设若是的不定积分,则它一定也的是原函数,且任意两个原函数相差一个常数,故 上述公式被称为微积分基本定理, 自此求解积分有了较为系统的方法,此前那种繁杂的穷竭法被这一重要公式取代.也是因为这一公式的出现,微积分成了真正可以应用的理论.早期人们遇到的函数几乎都是些单一的初等函数,对于积分的概念也并不十分明确,直到柯西发表了多本教科书后,积分理论才变得日益明了.一、Riemann积分(一)Riemann积分的定义十七世纪牛顿与莱布尼兹共同创立的微积分理论中,明确提出了积分的概念与研究方法.著名分析大师欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、柯西等人经过两个多世纪的不解探索,使得积分概念不断完善.而Riemann与
17、达布终结了这段漫长且艰辛的探索,形成了今天的Riemann积分.Riemann积分是为了解决计算平面上封闭曲线围成图形的面积而产生的,它的核心内容是试图通过无限逼近来确定积分的值.首先将区间加以分割,然后用极限思想对其定义.具体定义如下:设是定义在上的有界函数,任取区间的一个划分,.将区间分成部分,在每一个小区间上任取一点,.作和.令,如果对任意的分发与的任意取法,当时,趋于有限的极限,则称它为在上的Riemann积分,记为 .1如果设, ,则有在上Riemann可积.从而可积的充要条件为:也就是说,对任意的,总存在一个划分,使得对任意的划分,只要比更精细,则有所有区间内任意两点距离的上确界大
18、于等于的小区间的长度之和小于.Riemann积分的定义清楚地告诉我们:若函数在上Riemann可积,则在上必有界.换句话说,若函数在上无界,则在上必不是Riemann可积的.根据定义我们还可以进一步知晓此类可积函数必须是几乎处处连续的.(二)Riemann积分的局限性1. Riemann适用的范围比较小,可积性涉及两大因素:其一,分割小区间的长度;其二,函数在分割后的子区间上的振幅.如果函数可积,那么在趋近于0的过程当中,不能缩小的那些对应项子区间的长度必须是无穷小的.长度为任意小的区间簇可以覆盖Riemann函数的不连续点.简言之,Riemann可积函数必须是“基本上是连续的”.简单的狄利克
19、雷函数虽然在有界,但在该区间上处处不连续,故而Riemann积分不可积.由此可见Riemann积分函数类应用范围较小.2. Riemann积分运算不完全是微分运算的逆运算,微积分理论中,微积分基本定理起地位尤其重要.由微积分基本定理 易知,必须是可积的.事实上,存在着可微且导数有界的函数,但是其导数不是Riemann可积的故微积分基本定理的应用范围受到了限制.在1881年意大利数学家Volterra就作出了可微函数,其导数是有界的,但是导数不是可积的.所以说,微积分基本定理这一结论的适应面过窄.3. Riemann积分与极限可交换的条件太严苛.极限运算与积分运算可以交换的一个重要条件就是Rie
20、mann可积函数列所给定的区间一致收敛.也就是说,函数一致收敛只是极限与Riemann积分运算交换次序的充分而非必要条件.例如,在处不连续,但是该函数是非一致收敛的,而且.4. Riemann积分对于定义在完全不同的集合上分布奇特的有趣函数或一般集合上的函数,不仅没有简单的解决方法,而且甚至不可积.Riemann积分过分依赖于区间.例如,对于定义在之间的有理数上的函数,就没有办法讨论它的可积性.5. 在Riemann可积函数集合中,能构造出距离,由此可见,此空间并不完备,这是Riemann积分的又一局限性.二、Lebesgue积分 引入Lebesgue积分的目的是为了克服Riemann积分的不
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