波利亚与《怎样解题》四年级.ppt
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1、基于“学生需求”的小学数学课堂教学思考与研究,-怎样指导学生解题,千克是质量单位还是重量单位? 1定义不同。质量是物体惯性的量度,它是任何物体都固有的一种属性。重量则反映了物体所受重力的大小,它是受地球的吸引而引起的。 2质量是标量。重量是矢量。 3牛顿力学中的质量是一个恒量,重量则随物体所处的纬度和高度的不同而变化。 4质量用天平测定。重量则用弹簧秤测之。所以,当天平平衡时,物体与砝码的重量是相等的。 5质量和重量的单位在国际单位制里,质量的单位是千克,重量的单位是牛顿。,加法减法是互逆运算吗?,1、什么是逆运算? (1)在某个集合M中,对于任意两个有序元素a、b,根据某种法则,可在M中找到
2、唯一确定的元素c与它们对应,这种对应法则称为“运算”。 例如,在自然数集合中,(6,2)这对数依照某种法则与8对应,这种法则就是自然数的加法运算;,(2)如果已知c与a、b中的一个,求另一个元素,那么这样的运算称为上述运算的“逆运算”。 例如,已知8与2求另一个数6的运算,已知8与6求另一个数2的运算,就是加法的逆运算减法。在自然数集合中,加法和乘法总可实施。,减法运算5-3=2,虽然有2+3=5,但2+53,故减法运算,求被减数,加法是减法的逆运算;求减数,则加法不是减法的逆运算。 所以减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算。但是,加法不是减法的逆运算,乘法也不是除法的逆运算。,23+28+
3、17= 23+17+28 运用加法交换律?还是运用加法交换律和加法结合律? 23+28+17 = 23+( 28+17 ) = 23+( 17+28 ) = 23+17+28 加法交换律和加法结合律的推广。,圆的直径是不是圆的对称轴 ? 轴对称图形的对称轴一定是直线.圆的直径是“通过圆心并且两端都在圆上的线段“. 但我们不要纠缠于“直径是圆的对称轴”,还是“直径所在的直线是圆的对称轴”哪句话正确。,射线是直线的一部分吗? 射线和直线能比较长短吗? 射线是直线的一部分,但射线和直线不能比较长短。,问题1:已知长方体的长、宽、高,求其对角线长度。 问题2:作图题 :在给定三角形中作一正方形。正方形
4、的两个顶点在三角形的底边上,另二个顶点分别在三角形的另两边上。,1帮助学生 学生应当获得尽可能多的独立工作的经验。 教师对学生的帮助应当不多不少,恰使学生有一个合理的工作量。 教师对学生应当设身处地,应当了解学生情况,应当弄清学生正在想什么,并且提出一个学生自己可能会产生的问题,或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。,2问题、建议、思维活动 教师不免一而再,再而三地提出一些相同的问题,指出一些相同的步骤。 对学生的帮助并非强加于人;它们只不过指出了一般的方向,而留给学生去做的还很多。 问题与建议都以同一效果为目的:即企图引起同样的思维活动。,3普遍性 教师所提问题与建议的重要特点之一是普遍性
5、。 例如:未知数是什么?已知数是什么?条件是什么? 这些问题都是普遍适用的,对于所有各类问题,我们提出这些问题都会取得良好效果。它们的用途不限于任何题目。,4常识 它们也是自然的、简单的、显而易见的并且来自于普通常识。 例如这条建议:看着未知数! 试想出一个具有相同未知数或类似未知数的熟悉的问题。 你若希望找出某个未知数,你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的类似未知数的一些办法。如果你这样做了,那你的路子也是对头的.,5模仿与实践 当教师向学生提出表中的问题或建议时,有两个目的:第一,帮助学生解决手头的问题;第二,培养学生将来能够独立解题的能力。 如果同一个问题反复地对学生有所帮助,那么他
6、就会注意到这个问题。通过这样一次成功,他便发现了利用这个问题的正确途径,于是,他真正地领会了它。,6、弄清问题 学生应当弄清问题,然而他不仅应当弄清它,而且还渴望解出它。 教师在某种程度上可以检查这一点,他可以要求学生重新叙述这题目,而学生应能流利地重新叙述这个问题。 必须了解问题的文字叙述。如果问题和某一图形有关,那末他应该画张图并在上面标出未知数与已知数据。如果对这些对象需要给以名称,他应该引入适当的符号。,例子 问题:已知长方体的长、宽、高,求其对角线长度。 以下是老师与学生间的对话: “未知数是什么?”“长方体对角线的长度。” “已知数是什么?”“长方体的长、宽、高。” “引入适当的符
7、号,用哪个字母表示未知数?”“x”。 “长、宽、高应选哪些字母?”“a,b,c”。 “联系a,b,c与x的条件是什么?” “x是长方体的对角线,长方体的长、宽、高为a,b,c”。 “这是个合理的问题吗?我意思是说,条件是否充分,足以确定未知数吗?”“是的,是充分的。如果我们知道a,b,c,我们就知道长方体。如果长方体被确定,则对角线也被确定了。”,例如:一条长84千米的公路,原计划28天完成,实际21天完成,实际每天比原计划多修多少千米? 缺少条件。 多余条件。,7拟定计划 事实上,求解一个问题的主要成绩是构想出一个解题计划的思路。这个思路可能是逐渐形成的。 如果我们对该论题知识贫乏,是不容易
8、产生好念头的。如果我们完全没有知识,则根本不可能产生好念头。 一个好念头的基础是过去的经验和已有的知识。仅仅靠记忆不足以产生好念头。,你知道一个与此有关的问题吗? 困难就在于:通常有相当多的问题与我们现在手上的问题有关,即,与它有某种共同之处。我们怎样挑出其中一个或几个确实有用的问题呢? 我们建议把力量放 在主要的共同之处上:看着未知数!试想起一个具有相同或相似未知数的熟悉的问题来。 如果这些问题不行,我们必须寻找某些其他的适当接触点,并且探索问题的各个方面;我们不得不变化、变换、修改该问题。你能否重述这个问题?某些问题提示了改变问题的专门方法,例如普遍化、特殊化、应用类比、舍去一部分条件等等
9、;,例子 : “你是否知道一个与此有关的问题?” “看着未知数,你是否知道一个具有相同未知数的问题?” “好,未知数是什么?”“长方体的对角线。” “你是否知道任何具有相同未知数的问题?” “不,我们还没有任何关于长方体对角线的问题” “你是否知道任何具有相似未知数的问题?” “你看,对角线是个线段,就是直线的一段。你从来没有解决过一个未知数是直线长度的问题?”,“我们曾经解决过这样的问题,例如找出直角三角形的一个边。” “你真走运,你想起了一个与你当前问题有关的问题,而且这个问题你以前已经解决了。你愿意利用它吗?为了能利用它,你能否引进某个辅助元素?” “看这里,你所想起的是一个关于三角形的
10、问题。图中有三角形吗?” “在图中,你想有哪种三角形?” “你现在还不能求出这对角线;但你说过你能求出三角形的一个边。那么现在你该怎么办呢?” “如果对角线是三角形的一个边,你能找出它吗?”,8实现计划 要成功需要有许多条件,如已有的知识、良好的思维习惯、目标集中,还要有好运气。但实现计划则容易得多,我们所需要的主要是耐心。 在某些情况老师可以强调“看出来”与“证明”二者之间的差别而提出: 你能清楚地看出这一步骤是正确的吗? 同时你也能证明这一步骤是正确的吗?,例子 学生最后已经得到了解题的思路。他看出未知数x是直角三角形的斜边,而给定的高度c是边长之一,另一边则是六面体的一个面的对角线。很可
11、能这刚学生被催促引入一个适当的符号。他应当选择y表示另一边,即面上的对角线,其两边为a和b。学生现在可能看得更清楚:解题的思路就是应该引进一个辅助未知数y,最后,陆续对这两个直角三角形进行考虑。 但是如果老师不满足于学生的直观猜测,他应该继续提问: “但是你能证明这个三角形是个直角三角形吗?” 除非整个班级对于立体几何已经有了良好的起点,否则教师不应当提出这个问题。即使如此,也仍然存在某些危险性,即对这个偶然提出问题的回答可能成为大多数学生的主要困难。,y,9回顾 一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法:没有任何问题是可以解决得十全十美的。 出现错误总还是可能的,所以要验证。如果有某种快速
12、而直观的办法来检验结果或者检验论证,决不要忽略。 同样,我们也宁可通过两种不同的证明使我们对结果确信无疑。,“甲有34粒糖,乙有28粒糖,如果将这些糖平均分给两人每人得到多少粒糖?学生可以有不同的证明使我们对结果确信无疑 如:(3.4+2.8)2 (3.4-2.8)2+2.8 3.4-(3.4-2.8)2 3.42+2.82,教师的首要职责之一是不要给学生以下述错觉:数学题目之间很少有联系,和任何其他事物则完全没有什么联系。 如果学生已经作出了真诚的努力并且意识到自己完成得不错,那么他们将发现对解答加以回顾确实饶有趣味。这样,他们就热切地想知道用真诚的努力还可干些什么别的,以及下次他如何能干得
13、同样好。 教师应该鼓励学生设想一些情况,在那些情况下,他能再一次利用所使用的办法,或者应用所得到的结果。你能把这结果或这方法用于某个其它问题吗?,例子 学生最后得到了解答:如果长方体自同一角引出的三个边为a,b,c,那末对角线为 你能检验这个结果吗?教师不能指望从缺乏经验的学生那里得到这个问题的良好回答。 教师可以对结果提出好几个问题,对这些问题,学生可以很容易地回答“是”;但如回答“不是”,这将表明结果中存在严重的缺点。 “你是否使用了所有的数据?是否所有数据a,b,c都在你的对角线公式中出现?” “长、宽、高在我们的问题中起的作用是一样的,我们的问题对a,b,c来说是对称的。你所得的公式对
14、a,b,c对称吗?当a,b,c互换时公式是否保持不变?”,“我们的问题是一个立体几何问题给定尺寸a,b,c,求长方体的对角线。我们的问题与平面几何的问题类似:给定尺寸a、b,求矩形的对角线,这里立体几何问题的结果是否与平面几何的结果类似?” “如果高c减小,并且最后等于零,这时长方体变成长方形。在你的公式中,令c=0,是否得到矩形对角线的正确公式?” “如果高c增加,则对角线也增加。你的公式是否表明这点?” “如果长方体的三个量度a,b,c按同一比例增加,则对角线也按同一比例增加。在你的公式中,如将a,b,c分别代以12a,12b,12c,则对角线也将乘以12,是否这样?” “如果a,b,c的
15、单位是厘米,则你的公式给出的对角线的单位也是厘米; 如果将所有单位改为寸,则公式应保持正确,是否如此?”,上述一些问题有几个好处。 首先,公式通过这么多的检验,这一事实不能不使一个聪明的学生产生深刻的印象。 学生以前就相信公式是正确的,因为公式是他仔细推导出来的。但是现在经过这么多检验,他就更深信无疑了,这种信心的增加来源于一种“实验的数据”。正是由于上述问题,公式的细节获得了新的意义,而且和不同的事实联系起来了。这样,公式就更容易记住,学生的知识得以巩固。 最后,上述问题很容易转到类似的题目上。对于类似题目获得一些经验以后,一个聪明的学生就能觉察出所包含的普遍概念:即利用所有有关数据,改变数
16、据,对称,类比。,你能把这结果或方法用于其它问题吗? 计算长方体食堂的对角线。 给定长方体的长、宽、高,求中心到一角的距离。 在这个应用例子之后,教师可以讨论长方体四个对角线和六个棱锥体的结构,这六个棱锥体的底是长方体的六个面、公共顶点是长方体的中心、而侧棱是长方体对角线的一半。 在一个长21米、宽16米的建筑物的长方形平屋顶的中心要立一个高8米的旗杆。为了支撑这根旗杆,我们需要四根等长的拉线。规定四根拉线要离旗杆顶点为2米处的同一点开始,而另一端是建筑物顶部的四个角。问每根拉线有多长?,10好问题与坏问题 你知道一个与此有关的问题吗? 你能应用毕达哥拉斯定理(勾股定理)吗? 反对这种类型 “
17、帮助”的原因。 (1)如果学生已接近于问题的解决,他可能理解问题的建议;但是如果他不是这样,他十分可能完全看不到问题的着眼点,因而在最需要帮助之处却得不到帮助。 (2)这建议的针对性太强了,即使学生能利用它解决当前的问题,对于将来的问题来说并没有学到什么。这种提问不是很有启发性的。 (3)即使学生理解这建议,他们也极少能理解教师怎么会想到提出这样一个问题。,作图题 : 在给定三角形中作一正方形。正方形的两个顶点在三角形的底边上,另二个顶点分别在三角形的另两边上。 “未知的是什么?” “一个正方形”。 “已如数据是什么?” “一个给定的三角形,其它没有。” “条件是什么? ” “正方形的四个角在
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