离散数学课件-无向树.ppt
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1、1,离散数学,李书杰 合肥工业大学 ,离散数学,2,学习内容,10.1 无向树 10.2 根树,3,4,如果将上图看作一个图的话,这个图就是一棵树,如下图。,5,定义10.2.1 无向树从无向图出发定义的树,无向树(树): 连通而无回路的无向图,一般用T表示 叶: 树中度数为1的顶点 分支点/内部结点: 树中度数1的顶点 森林: 一个非连通图,如果其每个连通分支都是树,则称为森林 平凡树: 平凡图,只有一个点且无边的图 右图为一棵12阶树. 声明:本章中所讨论的回路均 指简单回路或初级回路,6,无向树的性质,定理10.2.1 设G=是n阶m条边的无向图,则下面各命题是等价的: (1)G是树(连
2、通无回路); (2)G中无回路且m=n1; (3)G是连通的且m=n1; (4)G中没有回路, 但在任何两个不同的顶点之间加一条新边,就会得到一条唯一的基本回路. (5)G是连通的且G中任何边均为桥; (6) G中任意两个顶点之间存在惟一的 一条基本通路。,7,(1)(2)的证明,如果G是无回路的连通图,则G中无回路且m=n1,其中m是边数,n是结点数 证明 归纳法。 当n=2时,因为G连通无回路, 所以只有m=1,故m=n-1成立。 假设n=k-1时命题成立,当n=k时, 因G是无回路且连通,则至少有一个度为1的结点u, 设与其关联的边为(u,w),删去u,得到一个k-1个结点 的连通无向图
3、G,,8,(1)(2)的证明(续),由归纳假设可知, G的边数m=n-1=(k-1)-1=k-2。 再将结点u及(u,w)放入原位,恢复到图G, 那么G的边数 m=m+1=(k-2)+1=k-1, 结点数n=n+1=k, 故m=n-1成立。,9,(2)(3)的证明,如果G中无回路且m=n1,其中m是边数,n是结点数,则连通且m=n1; 只须证明G是连通的。 证明 设G有k个连通分枝G1,Gk(k1),Gi有ni个结 点,mi条边,因为Gi连通无回路,所以有 mi =ni-1,n=n1+n2+nk m=m1+m2+mk=(n1-1)+(n2-1)+(nk-1)=n-k 因为m=n-1,所以k=1
4、,故G是连通的。,10,(3)(4)的证明,如果G连通且m=n1,则G中无回路, 但增加一条新边,得到一个且仅有一个包含新边的回路。 证明 归纳法。 当n=2时,m=n-1=1,必无回路,如果增加一边得到且仅得到一个回路。 设n=k-1时命题成立。考察n=k时的情况。 因为G是连通的,所以每个结点u有deg(u)1, 下面证明至少有一个结点u0使deg(u0)=1。 若不存在,则每个结点的度至少为2,所以2n2m,即n m,这与m=n-1矛盾。,11,(3)(4)的证明,首先证明G中也无回路 删去u0及其关联的边,得到含有k-1个结点的图G, G连通且m=n1。由归纳假设知G无回路。 在G中加
5、入u0及其关联的边恢复到G,则G无回路。 再证明在G中任意两结点之间增加一条边,得到一条且仅有一条回路。 若在G中增加一条边(ui,uj), 因为G连通,则在G中存在一条从ui到uj的路, 那么这条路与新加入的边(ui,uj)构成回路, 而且这个回路是唯一的。 若不唯一,删掉边(ui,uj)边,G中必有回路,矛盾。,12,(4) (5)的证明,如果G中无回路, 但增加一条新边,得到一个且仅有一个包含新边的回路,则G连通且每条边均为桥。 证明 反证法。 假设G不连通, 则存在结点ui与uj,在ui和uj之间没有路, 所以增加边(ui,uj)不会产生回路,与已知矛盾。 由于G无回路,故删掉任意条边
6、e都使G-e为非连通, 所以G中每条边都是桥。,13,(5) (6)的证明,如果G连通且每条边均为桥,则G中任意两个结点之间存在惟一的路径。 证明 由G是连通的可知,任意两个结点间有一条路, 若存在两点它们之间有多于一条的路, 则G中必有回路, 删去该回路上任一边, 图仍是连通的, 与G中每条边都是桥矛盾。,14,(6) (1)的证明,如果G中任意两个结点之间存在惟一的路径,则G是无回路的连通图。 证明 因为任意两结点间有唯一条路,则图G必连通。 若G有回路, 则在回路上任意两结点间有两条路, 与已知矛盾。,15,定理10.2.2 设T 是n阶非平凡的无向树,则T中至少有两片树叶. 证 设T有
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