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1、第2讲 立体几何中的向量方法,高考定位 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点,与空间线面关系的证明相结合,热点为二面角的求解,均以解答题的形式进行考查,难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上,真题感悟 (2014新课标全国卷)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,ABB1C. (1)证明:ACAB1; (2)若ACAB1,CBB160,ABBC,求二面角AA1B1C1的余弦值,(1)证明 连接BC1,交B1C于点O,连接AO. 因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1,且O为B1C及BC1的中点 又ABB1C,ABBOB,所以B1C平面ABO. 由于AO平
2、面ABO,故B1CAO. 又B1OCO,故ACAB1.,科目1考试网 http:/ 科目1考试 科目1考试网 http:/ 科目一考试C1试题 科目1考试网 http:/ 科目一考试B2试题 科目一考试网 http:/ 科目一模拟考试2016题库 科目一考试网 http:/ 科目一模拟考试C1 科目一考试网 http:/ 科目一模拟考试C2 科目一考试网 http:/ 科目一模拟考试A2 科目一考试网 http:/ 科目一模拟考试B2 科目一考试网 http:/ 科目一模拟考试A1 科目一考试网 http:/ 科目一模拟考试A3,考点整合 1直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线
3、l的方向向量为a(a1,b1,c1),平面,的法向量分别为(a2,b2,c2),(a3,b3,c3),则 (1)线面平行 laa0a1a2b1b2c1c20.,热点一 向量法证明平行与垂直 【例1】 如图,在直三棱柱ADEBCF中,面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直,M为AB的中点,O为DF的中点,求证: (1)OM平面BCF; (2)平面MDF平面EFCD.,【训练1】 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC为等腰直角三角形,BAC90,且ABAA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点,求证: (1)DE平面ABC; (2)B1F平面AEF.,证明 如图建立空间直角坐标
4、系 Axyz,不妨设ABAA14, 则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0), B(4,0,0),B1(4,0,4),热点二 利用空间向量求空间角 微题型1 求线面角 【例21】 (2014福建卷)在平面四边形ABCD中,ABBDCD1,ABBD,CDBD.将ABD沿BD折起,使得平面ABD平面BCD,如图 (1)求证:ABCD; (2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值,(1)证明 平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCDBD,AB平面ABD, ABBD,AB平面BCD. 又CD平面BCD, ABCD.,规律方法 (1)利用面面垂直时,要注意通法和严谨性,先
5、找出交线,再判断交线的垂直,才能得到线面垂直;(2)利用向量法求线面角时,直线所在向量与法向量所成夹角的余弦值恰为线面角的正弦值,微题型2 求面面角 【例22】 (2014河南十所名校联考)如图,在几何体ABCDEF中,ABC,DFE都是等边三角形,且所在平面平行,四边形BCED为正方形,且所在平面垂直于平面ABC. (1)证明:平面ADE平面BCF; (2)求二面角DAEF的正切值,(1)证明 取BC的中点O,ED的中点G,连接AO,OF,FG,AG.则AOBC,又平面BCED平面ABC,所以AO平面BCED,同理FG平面BCED,所以AOFG,又易得AOFG,所以四边形AOFG为平行四边形
6、,所以AGOF,又DEBC,所以平面ADE平面BCF.,规律方法 二面角平面角余弦与二面角两平面法向量夹角的余弦绝对值相等,其正负可以通过观察二面角是锐角还是钝角进行确定,【训练2】 (2014广东卷)如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,DPC30,AFPC于点F,FECD,交PD于点E. (1)证明:CF平面ADF; (2)求二面角DAFE的余弦值,热点三 利用空间向量解决立体几何中的探索 性问题微题型1 以位置关系为已知条件探索点的位置 【例31】 如图所示,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD平面ABCD,NB平面ABCD,且MDNB1,E为BC的中点 (1)求异面直线NE
7、与AM所成角的余弦值; (2)在线段AN上是否存在点S,使得ES平面AMN?若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由,探究提高 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题,它无需进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断;解题时,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等,所以为使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法解题,【训练3】 如下图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB90,E是棱CC1上的动点,F是AB的中点,ACBC2,AA14. (1)当E是棱CC1的中点时,求证CF平面AEB1; (2)在棱CC1上是否存在点E,使得二面角AEB1B的大小是45?若存在,求CE的长;若不存在,请说明理由,1利用空间向量证明线面关系时,应抓住直线的方向向量与平面的法向量之间的关系,如直线的方向向量与平面的法向量共线时,直线和平面垂直;直线的方向向量与平面的法向量垂直时,直线和平面平行或直线在平面内,
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