D15极限运算法则-高等数学.ppt
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1、,第一章,二、 极限的四则运算法则,三、 复合函数的极限运算法则,一 、无穷小运算法则,第五节,极限运算法则,时, 有,一、 无穷小运算法则,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例如,,( P57 题 4 (2) ),解答见课件第二节 例5,类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,即,是,时的无穷小 .,推论 1 . 常数
2、与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,例1. 求,解:,利用定理 2 可知,说明 : y = 0 是,的渐近线 .,二、 极限的四则运算法则,则有,证: 因,则有,(其中,为无穷小),于是,由定理 1 可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理 , 知定理结论成立 .,定理 3 . 若,推论: 若,且,则,( P46 定理 5 ),利用保号性定理证明 .,说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .,提示: 令,定理 4 . 若,则有,提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .,说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .,
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- D15 极限 运算 法则 高等数学
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