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1、目录,-1 动态电路的方程及其初始条件,-2 一阶电路的零输入响应,-3 一阶电路的零状态响应,-4 一阶电路的全响应和通用公式,7-5 阶跃响应,7-6一阶和二阶电路的冲激响应,7-7 二阶电路的零输入响应,7-8二阶电路的零状态响应和全响应,2、零输入响应 零状态响应 全响应,重点掌握(main contents):,4、基本信号: 阶跃函数和冲激函数,3、稳态分量 暂态分量,1、换路定理 三要素法,第七章 一阶二阶电路时域分析 (暂态) (Transient State),u=Ri,换路或交流电,直流时 l 短路,直流时 c 开路,K未动作前,i = 0 , uC = 0,i = 0 ,
2、 uC= Us,一、什么是电路的过渡(transition)过程,K接通电源后很长时间,过渡过程:电路由一个稳态(steady state)过渡到另一个稳态需要经历的过程. 换路(switch):即电路(结构或参数)变化.,K合上,概述 (summary),链接 RL电路 动画,2. 电路结构(configuration)或参数(parameter)发生变化,三、 稳态分析和动态分析的区别(differences),稳 态 动 态,1. 换路发生了很长时间后;,换路刚发生,iL 、 uC 随时间变化,3. 代数方程组描述电路;,微分方程组描述电路,2. IL、 UC 不变;,二、过渡过程产生的
3、原因(reason),1. 电路内部含有储能元件 L 、M、 C,一、 关于 t = 0 - 与t = 0 +,换路在 t=0时刻进行,, 0- 0 0+ +,初始条件:为 t = 0+时u ,i 的值 如在t = t0合上,则t = t0+时刻的值,原稳态,原稳态终值,换路 瞬间,过渡过程,新稳态,换路后初始值,-1 动态电路的方程及其初始条件 Equation of Dynamic Circuit And Its Initial Condition,链接 RC电路 动画,若 i()为有限值,求t = 0+时刻uc(0+)=?,1.电容(capacitor),二、换路定理 Switch Th
4、eorem,uc(0+) = uc(0-),结论(Conclusion): 换路瞬间,若电容电流为有限值, 则电容电压(电荷)换路前后保持不变。,求t = 0+时刻iL(0+)=?,2.电感(Inductance),iL(0+)= iL(0-),若 u()为有限值,结论 : 换路瞬间,若电感电压为有限值, 则电感电流(磁链)换路前后保持不变。,换路定理:在换路瞬间电容上的电压、 电感上的电流不能跃变,记住,uc(0+) = uc(0-),iL(0+)= iL(0-),解:(1) 由0-电路求 uC(0-),iC (0-) =0 iC(0+)= iC(0-)=0,uC (0+) = uC (0-
5、)=8V,(2) 由换路定律,(3) 由0+等效电路求 iC(0+),三、电路初始值(initial value)的确定,iL(0+)= iL(0-) =10/(1+4)=2A,解:,uL(0+)=uL(0-)=0,补例,3. 画0+等值电路。 电容(电感)用电压源(电流源)替代。 取0+时刻值,方向同原假定的电容电压、电感电 流方向。,4. 由0+电路求所需各变量的0+值。,1. 由换路前电路(稳定状态)求 uC(0-) 或 iL(0-)。,2. 由换路定律得 uC(0+) 或 iL(0+)。,求初始值的步骤(Steps):,链接,iL(0+) = iL(0-) = IS,uC(0+) =
6、uC(0-) = RIS,uL(0+)= - RIS,解:(1)初始值,(2)0+时刻,补例:,则,一、RC电路的零输入响应,已知 uC (0-)=U0 求 uC和 i 。,解:,uC -uR=uC-Ri=0,特征根,-2 一阶电路的零输入响应 Zero Input Respond of First Order Circuit,仅有一个储能元件,激励(电源)为零,仅由电容或电感的初始储能作用于电路产生的响应,设,复习:一阶微分方程,初始值 uC (0+)=uC(0-)=U0,A=U0,令 =RC , 称为一阶电路的时间常数(time constant),时间常数(time constant)
7、的大小反映了电路过渡过程时间的长短, 大 过渡过程时间的长, 小 过渡过程时间的短,电压初值一定:,R 大( C不变) i=u/R 放电电流小,C 大(R不变) W=0.5Cu2 储能大, = R C,链接,复习:,结论 : 换路瞬间,若电感电压为有限值, 则电感电流(磁链)换路前后保持不变。,iL(0+)= iL(0-),结论: 换路瞬间,若电容电流为有限值, 则电容电压(电荷)换路前后保持不变。, = R C,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短,uc(0+) = uc(0-),t,I0,i,0,工程上认为 , 经过 3 - 5 , 过渡过程结束,Uc若按开始的速度衰减 经过 时间
8、,衰减结束,,过起点做切线,:电容电压衰减(Attenuation)到原来电压36.8%所需的时间。,特征方程 Lp+R=0,特征根 p =,由初始值 i(0+)= I0 得:,A= i(0+)= I0,i (0+) = i (0-) =,二. RL电路的零输入响应,设,令 = L/R , 一阶RL电路时间常数,L大(R不变) 起始能量大 R小(L不变) 放电过程消耗能量小,电流初始值一定:, = L/R, 大放电慢,t,I0,i,0,响应由初始值、特解(稳态值)、时间常数决定,稳态值,初始值,时间常数,三要素法:总结一阶电路规律得,零状态响应:储能元件初始能量为零的电路在输入 激励(Exci
9、tation)作用下产生的响应,列方程:,解答形式为:,齐次方程的通解,齐次方程的特解,一、 RC电路的零状态响应,-3 一阶电路的零状态响应 Zero State Response of First Order Circuit,变化规律由电路结构和参数决定,全解:,uC (0+)=A+US= 0, A= - US,由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A,齐次方程 的通解,:通解(自由分量,暂态分量),因为它由输入激励决定,称为强制分量;它也是 电路的稳态解,也称为稳态分量,强制分量(稳态),自由分量(暂态),电源提供的能量一半消耗在电阻上,一半转换成电场能量 储存在电容中。,电容储存
10、:,电源提供能量:,电阻消耗,能量关系:,iL(0-)=0,求: 电感电流iL( t ) 和电压uL( t )?,已知,二、 RL电路的零状态响应(Zero State Response of RL Circuit), = L / Req = L / (R1/ R2 ), = ReqC,时间常数(time constant) 的计算方法,iL (0+) = iL(0-) = 1 A,uV (0+)= - 10000V,分析:,补例,2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R,3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,总结(Conclusion):,iL(0+
11、)= iL(0-),uc(0+) = uc(0-),若电容电流为有限值,若电感电压为有限值,1.,一、一阶电路全响应,全响应:换路瞬间储能元件已有初始储能,且换路后电路中有激励,求: uc(t)?,将uc(0+)=U0代入,得:A=U0 - US,1.微分法,-4 一阶电路的全响应和通用公式 Complete Response of first order Circuit and Common Equation,解:,再求电感两端戴维宁等效电路,例6-5,作业(Assignment):7-1、4、7、8、11、16、17,1.定义,2. 单位阶跃函数的延迟,一、单位阶跃函数,3. 由单位阶跃函
12、数可组成复杂的信号,例 1,阶跃函数,例3,例4 用( t )函数描述开关动作,t = t0,起始,例补,uC (0-)=0,单位阶跃响应:单位阶跃函数作用下的零状态响应,7-5 阶跃响应 Unit Step Response of First Order Circuit,例,一矩形脉冲电压作用于图示电路。,已知uC(0)=0, 求uC(t)。,解:,t =0 T:,t = T :,矩形脉冲电压作用可相当于一开关电路,为零状态响应,为零输入响应,解:,+,补例: 下图中uC (0-)=0,求us作用下电流 iC(t)?,分段(Piecewise)表示为:,7-6一阶和二阶电路的冲激响应 Uni
13、t Impulse Response of First Order Circuit,一、RC电路冲激响应,uC可不可能是冲激函数?,1.为零状态响应,证明:设,KCL方程不成立 uC不会是冲激函数,难点,单位冲激响应: 单位冲激函数作用下的零状态响应,2. t0+后(t)=0,所以可视为uC(0+)=1/C的零输入响应,=Li=1,产生单位磁通链,1.零状态响应,2.零输入响应,二、RL电路,对于任一线性时不变电路,阶跃响应,冲激响应,三、阶跃响应与冲激响应的关系 Relationship Between Unit Step Response And Unit Impulse Response
14、,求导过程要注意,解:,t0+后(t)=0。求导过程先不管,t0 要关注0时刻的情况,例 如图所示电路中,iL(0-)=0,R1=6,R2=4,L=100mH 求冲激响应iL和uL。,1 三要素法适用条件: 直流或正弦激励的一阶电路 2 换路定律的适用条件: 电容电流、电感电压为有限值 电容电压、电感电流突变与否,必须以满 足KCL、KVL为前提,总结(Conclusion):,7-7 二阶电路的零输入响应 Zero Input Response of Second Order Circuit,解:,根的性质不同,响应的变化规律也不同,1、非振荡放电过程,t=0+ i=0 ,t= i=0,t
15、= tm 时i 最大,00,t tm i 减小, uL 0,t = 2tm 时 uL 极小,uL(0)=U0,t 2tm uL 衰减加快,t 0 i 0,做i的曲线,做u的曲线,由 uL= 0 可计算 tm,由 duL / dt 可确定uL为极小值的时间 t,0 t tm uc减小 ,i 增加。,t tm uc减小 ,i 减小.,非振荡放电(Non-oscillation Discharge) 过阻尼(Over Damped),能量转换 (Energy Exchange ):,uC的解答形式:,阻尼振荡(damped oscillation)角频率 阻尼,2、特征根为一对共轭(conjugat
16、e)复根,振荡放电(oscillation discharge),由欧拉公式:,代入得,uL零点: t = , +,2+ . n+,i 零点: t =0, ,2 . n , i 极值点为uL零点。,uC零点: t = -,2- . n- , uC 极值点为i零点。, t -,- t ,0 t ,uC减小,i 增大,uC减小,i 减小,|uC |增大,i 减小,衰减振荡 欠阻尼,能量转换关系 Energy Exchange Relationship,等幅振荡 无阻尼,得,特例 R = 0,解出,由初始条件(initial condition ),3、非振荡放电 临界阻尼(critically d
17、amped),可推广应用于一般二阶电路 It can be applied to common second order circuit,小结(Conclusion):,解:,uC(0+)= uC(0-) =25V,(1),uC(0-)=25V,补例,特征方程为 50P2+2500P+106=0,i1= i 0.5 u1,= i 0.5 2 (2 i) = 2i 2,由KVL,整理得:,二阶非齐次常微分方程,解:第一步列写微分方程,一、零状态响应,7-8二阶电路的零状态响应和全响应 Zero State Response And Complete Response of second orde
18、r Circuit,第二步求通解i,P1= -2 ,P2 = -6,解答形式为:,第三步求特解 i(稳态解),i = 0.5 u1,u1=2(2-0.5u1),u1=2V i= i()=1A,P2+8P+12=0,第四步求初值,第五步确定常数,当激励为阶跃函数时,则响应称为阶跃响应 The response will be unit step response accordingly when the excitation is unit step function .,解: (1) 列微分方程,二. 全响应(Complete Response):,(2)求通解(自由分量),特征根 P= 10
19、0 j100,(3)求特解(强制分量,稳态解),(4)求全解,(4)由初值定常数,iL(0+)=2A , uC(0+)=0 (已知),(5) 求 iR(t);稳态解为1,解答形式为:,由初始值定常数,R=50 C=100F,跌加原理,1. 一阶电路是单调的响应,可用时间常数表示过渡过程 的时间。,2. 二阶电路用三个参数 , 和 0来表示动态响应。满足:,特征根 响应性质 自由分量形式,总结(Conclusion):,4.线性电路古典(classic)法解二阶过渡过程包括以下几步: (1)用换路后(0+)电路列写微分方程 (2)求特征根,由根的性质写出自由分量形式(常数待定) (3)求强制分量(稳态分量) (4)全解=自由分量+强制分量 (5)将初值f(0+)和f (0+)代入全解,确定常数求响应 (6)讨论物理过程,画出波形(waveform),3. 电路是否振荡取决于特征根,特征根仅仅取决于电路的结 构和参数,而与初始条件和激励的大小没有关系。,
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