课件4-MATLAB在高等数学中的应用.ppt
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1、2019年2月22日星期五,电子信息学院,第三章 MATLAB在高等数学中的应用,2019年2月22日星期五,电子信息学院,3.1矩阵分析 3.1.1 对角阵与三角阵 1对角阵 只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵,对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵,对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单位矩阵。,2019年2月22日星期五,电子信息学院,(1) 提取矩阵的对角线元素 设A为mn矩阵,diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线元素,产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。 diag(A)函数还有一种形式diag(A,k),其功能是提取第k条对角线的元素。 (2) 构造对角矩阵 设V为
2、具有m个元素的向量,diag(V)将产生一个mm对角矩阵,其主对角线元素即为向量V的元素。 diag(V)函数也有另一种形式diag(V,k),其功能是产生一个nn(n=m+)对角阵,其第k条对角线的元素即为向量V的元素。,2019年2月22日星期五,电子信息学院,例1. 先建立55矩阵A,然后将A的第一行元素乘以1,第二行乘以2,第五行乘以5。 A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;. 11,18,25,2,19; D=diag(1:5); D*A %用D左乘A,对A的每行乘以一个指定常数,2019年2月22日星期五,电子信
3、息学院,2三角阵 三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵,所谓上三角阵,即矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵,而下三角阵则是对角线以上的元素全为0的一种矩阵。,2019年2月22日星期五,电子信息学院,上三角矩阵 求矩阵A的上三角阵的MATLAB函数是triu(A)。 triu(A)函数也有另一种形式triu(A,k),其功能是求矩阵A的第k条对角线以上的元素。例如,提取矩阵A的第2条对角线以上的元素,形成新的矩阵B。 下三角矩阵 在MATLAB中,提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril(A)和tril(A,k),其用法与提取上三角矩阵的函数triu(A)和triu(A,k)完全相同。,20
4、19年2月22日星期五,电子信息学院,3.1.2 矩阵的转置与旋转 1矩阵的转置 转置运算符是单撇号()。 2矩阵的旋转 利用函数rot90(A,k)将矩阵A旋转90的k倍,当k为1时可省略。,2019年2月22日星期五,电子信息学院,3矩阵的左右翻转 对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换,第二列和倒数第二列调换,依次类推。MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A)。 4矩阵的上下翻转 MATLAB对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。,2019年2月22日星期五,电子信息学院,3.1.3 矩阵的逆与伪逆 1矩阵的逆 对于一个方阵A,如果存在一个与其同阶
5、的方阵B,使得: AB=BA=I (I为单位矩阵) 则称B为A的逆矩阵,当然,A也是B的逆矩阵。 求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作,容易出错,但在MATLAB中,求一个矩阵的逆非常容易。求方阵A的逆矩阵可调用函数inv(A)。 例2. 用求逆矩阵的方法解线性方程组。 Ax=b 其解为: x=A-1b,2019年2月22日星期五,电子信息学院,2矩阵的伪逆 如果矩阵A不是一个方阵时,矩阵A没有逆矩阵,但可以找到一个与A的转置矩阵A同型的矩阵B,使得: ABA=A BAB=B 此时称矩阵B为矩阵A的伪逆,也称为广义逆矩阵。在MATLAB中,求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。,2019年2月2
6、2日星期五,电子信息学院,3.1.4 方阵的行列式 把一个方阵看作一个行列式,并对其按行列式的规则求值,这个值就称为矩阵所对应的行列式的值。在MATLAB中,求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。,2019年2月22日星期五,电子信息学院,3.1.5 线性方程组求解 1利用左除运算符的直接解法 对于线性方程组Ax=b,可以利用左除运算符“”求解: x=Ab 例3.。 用直接解法求解下列线性方程组。 命令如下: A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; x=Ab%(inv(A)*b),2019年2月22日星期五,电子信息学
7、院,3.1.6 矩阵的秩与迹 1矩阵的秩 矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。在MATLAB中,求矩阵秩的函数是rank(A)。 2矩阵的迹 矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和,也等于矩阵的特征值之和。在MATLAB中,求矩阵的迹的函数是trace(A)。,2019年2月22日星期五,电子信息学院,3.1.7 向量和矩阵的范数 矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。范数有多种方法定义,其定义不同,范数值也就不同。,2019年2月22日星期五,电子信息学院,1向量的3种常用范数及其计算函数 在MATLAB中,求向量范数的函数为: (1) norm(V)或norm(V,2):计算向
8、量V的2范数。 (2) norm(V,1):计算向量V的1范数。 (3) norm(V,inf):计算向量V的范数。 2矩阵的范数及其计算函数 MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数,其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。,2019年2月22日星期五,电子信息学院,3.1.8 矩阵的条件数 在MATLAB中,计算矩阵A的3种条件数的函数是: (1) cond(A,1) 计算A的1范数下的条件数。 (2) cond(A)或cond(A,2) 计算A的2范数数下的条件数。 (3) cond(A,inf) 计算A的 范数下的条件数。,2019年2月22日星期五,电子信息学院,3.1.9 矩阵的
9、特征值与特征向量 在MATLAB中,计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A),常用的调用格式有2种: (1) E=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成向量E。 (2) V,D=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成对角阵D,并求A的特征向量构成V的列向量。,2019年2月22日星期五,电子信息学院,3.2 多项式计算 1多项式的加减运算(详见课本p87) 2多项式乘法运算 函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。这里,P1、P2是两个多项式系数向量。,2019年2月22日星期五,电子信息学院,3多项式除法 函数Q,r=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P
10、2作除法运算。其中Q返回多项式P1除以P2的商式,r返回P1除以P2的余式。这里,Q和r仍是多项式系数向量。 deconv是conv的逆函数,即有P1=conv(P2,Q)+r。,2019年2月22日星期五,电子信息学院,4 多项式求根 n次多项式具有n个根,当然这些根可能是实根,也可能含有若干对共轭复根。MATLAB提供的roots函数用于求多项式的全部根,其调用格式为: x=roots(P) 其中P为多项式的系数向量,求得的根赋给向量x,即x(1),x(2),x(n)分别代表多项式的n个根。,2019年2月22日星期五,电子信息学院,例4. 求多项式x4+8x3-10的根。 命令如下: A
11、=1,8,0,0,-10; x=roots(A) 若已知多项式的全部根,则可以用poly函数建立起该多项式,其调用格式为: P=poly(x) 若x为具有n个元素的向量,则poly(x)建立以x为其根的多项式,且将该多项式的系数赋给向量P。,2019年2月22日星期五,电子信息学院,例5. 已知 f(x) (1) 计算f(x)=0 的全部根。 (2) 由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x),并与f(x)进行对比。 命令如下: P=3,0,4,-5,-7.2,5; X=roots(P) %求方程f(x)=0的根 G=poly(X) %求多项式g(x),2019年2月22日星期五,电子信息学
12、院,3.3 数据插值 3.3.1 一维数据插值 在MATLAB中,实现这些插值的函数是interp1,其调用格式为: Y1=interp1(X,Y,X1,method) 函数根据X,Y的值,计算函数在X1处的值。X,Y是两个等长的已知向量,分别描述采样点和样本值,X1是一个向量或标量,描述欲插值的点,Y1是一个与X1等长的插值结果。method是插值方法,允许的取值有linear、nearest、cubic、spline。,2019年2月22日星期五,电子信息学院,注意:X1的取值范围不能超出X的给定范围,否则,会给出“NaN”错误。 例6. 用不同的插值方法计算在/2点的值。 MATLAB中
13、有一个专门的3次样条插值函数Y1=spline(X,Y,X1),其功能及使用方法与函数Y1=interp1(X,Y,X1,spline)完全相同。,2019年2月22日星期五,电子信息学院,例7.某观测站测得某日6:00时至18:00时之间每隔2小时的室内外温度(),用3次样条插值分别求得该日室内外6:30至17:30时之间每隔2小时各点的近似温度()。 设时间变量h为一行向量,温度变量t为一个两列矩阵,其中第一列存放室内温度,第二列储存室外温度。命令如下: h =6:2:18; t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30; XI =6.5:2:17
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- 课件 MATLAB 高等数学 中的 应用
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