世纪金榜二轮专题辅导与练习专题六第三讲.ppt
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1、第三讲 定点、定值与最值问题,一、主干知识 1.定点问题: 在解析几何中,有些含有参数的直线或曲线,不论参数如何变化,其都过某定点,这类问题称为定点问题. 2.定值问题: 在解析几何中,有些几何量,如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关,这类问题统称为定值问题.,3.最值问题的两大求解策略: 解决圆锥曲线中的最值问题,一般有两种方法:一是几何法,特别关注用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法,将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数),然后根据函数的结构特征直接或换元后选用基本不等式法、导数法、数形结合法等求最值.,二、重要结
2、论 1.直线与圆锥曲线相交的问题,牢记“联立方程,把要求的 量转化为根与系数的关系”. 2.有关弦长问题,牢记弦长公式 及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点 弦长问题,要牢记圆锥曲线定义的运用,以简化运算. 3.涉及弦中点的问题,牢记“点差法”是联系中点坐标和弦 所在直线的斜率的好方法.,4.求参数范围的问题,牢记“先找不等式,有时需要找出两个量之间的关系,然后消去另一个量,保留要求的量”.不等式的来源可以是0或圆锥曲线的有界性或是题目条件中的某个量的范围等. 5.牢记曲线f1(x,y)+f2(x,y)=0(为参数)过曲线f1(x,y)=0与f2(x,y)=0的交点.,1.(2013昆明模
3、拟)已知直线x=t与椭圆 交于P,Q两 点,若点F为该椭圆的左焦点,则 取最小值时t的值为_. 【解析】椭圆的左焦点F(-4,0),根据对称性可设P(t,y),Q(t,-y), 则 =(t+4,y), =(t+4,-y), 所以 =(t+4,y)(t+4,-y)=(t+4)2-y2. 又因为 所以 =(t+4)2-y2=t2+8t+16-9+ t2= 所以当 时, 取值最小. 答案:,2.(2013重庆模拟)以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作 圆与直线x+2=0相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐 标是_. 【解析】由抛物线定义知该圆必过抛物线y2=8x的焦点F(2,0). 答案:(2,
4、0),3.(2013江西高考改编)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的 焦点为F,直线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N, 则FMMN=_. 【解析】设直线FA的倾斜角为,因为F(0,1),A(2,0),所以 直线FA的斜率为 即tan = 过点M作准线的垂线交准线 于点Q,由抛物线定义得FM=MQ,在MQN中 可得 即FMMN=1 答案:1,4.(2013盐城模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线的顶点在原点,焦点为F(1,0)过抛物线在x轴上方的不同两点A,B作抛物线的切线AC,BD,与x轴分别交于C,D两点,且AC与BD交于点M,直线AD与直线BC交于点N (1)求
5、抛物线的标准方程. (2)求证:MNx轴. (3)若直线MN与x轴的交点恰为F(1,0), 求证:直线AB过定点,【解析】(1)设抛物线的标准方程为y2=2px(p0), 由题意,得 即p=2 所以抛物线的标准方程为y2=4x (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),且y10,y20 由y2=4x(y0),得 所以切线AC的方程为y-y1= 即yy1= (xx1) 整理,得yy1=2(x+x1),,且C点坐标为(x1,0) 同理得切线BD的方程为yy2=2(x+x2), 且D点坐标为(x2,0) 由消去y,得xM= 又直线AD的方程为 直线BC的方程为 由消去y,得xN= 所以xM=xN,
6、即MNx轴,(3)由题意,设M(1,y0),代入(2)中的,得y0y1=2(1+x1),y0y2=2(1+x2). 所以A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程y0y=2(1+x). 所以直线AB的方程为y0y=2(1+x). 故直线AB过定点(-1,0).,热点考向 1 定点的探究与证明问题 【典例1】(1)(2013郑州模拟)已知点A(x1,y1),B(x2,y2) (x1x20)是抛物线y2=4x上的两个动点,O是坐标原点, =0, 则直线AB过定点 . (2)(2013聊城模拟)如图,已知椭圆C: (ab0)的 离心率为 以原点O为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直 线x-y+ =
7、0相切.,求椭圆的标准方程. 设P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连结PB交椭圆C于另一点E,证明动直线AE经过一定点.,【解题探究】 (1)由 =0,得y1y2为定值_; 当x1x2时,直线AB的斜率kAB=_(用y1,y2表示) 直线AB的方程为_.(用y1,y2表示) 当x1=x2时,直线AB的方程为x=_. (2)由离心率为 _;由点到直线的距离求得b=_. 证明动直线AE经过一定点的关键是什么? 提示:关键选与直线PB有关的参数建立直线AE的方程.,-16,(y1+y2)y=4(x-4),4,【解析】(1)因为 所以x1x2+y1y2=0,y1y2=-16
8、, 当x1x2时, AB方程y-y1= (y1+y2)y-y12-y1y2=4x-4x1 (y1+y2)y=4x-16, 即(y1+y2)y=4(x-4)经过(4,0), 当x1=x2时,x1=x2=4,即直线AB方程为x=4过点(4,0). 答案:(4,0),(2)由题意知 所以 又因为以原点O为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+ =0相切, 所以有 所以 故椭圆的方程为:,由题意知直线PB的斜率存在; 设直线PB的方程为y=k(x-4),由 得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0. 设点B(x1,y1),E(x2,y2),A(x1,-y1), 则x1+x2= x1
9、x2= () 直线AE的斜率kAE= 所以直线AE的方程为y-y2= (x-x2).,令y=0,得x=x2+ 将y1=k(x1-4),y2=k(x2-4)代入并整理得: () 将()代入()整理得 所以,直线AE过定点(1,0).,【互动探究】若本例(1)中抛物线方程为y2=2px(p0),且弦AB 的中点到直线x-2y=0的距离的最小值为 且 求 抛物线方程. 【解析】设AB中点C(x,y),则 若中点C到直线x-2y=0的距离为d, 则 所以,当y1+y2=2p时,d有最小值 由题设得 所以p=2,此时抛物线方程为y2=4x.,【方法总结】动线过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定
10、点问题,解法:设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t,由题设条件将t用k表示为t=mk,得y=k(x+m),故动直线过定点(-m,0). (2)动曲线C过定点问题,解法:引入参变量建立曲线C的方程,再根据对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点.,【变式备选】(2013南通模拟)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,焦点F的坐标为(1,0) (1)求抛物线C的标准方程. (2)设M,N是抛物线C的准线上的两个动点,且它们的纵坐标之积为-4,直线MO,NO与抛物线的交点分别为点A,B,求证:动直线AB恒过一个定点,【解析】(1)设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),则 =1, p=
11、2,所以抛物线C的标准方程为y2=4x (2)抛物线C的准线方程为x=-1,设M(-1,y1),N(-1,y2), 其中y1y2=-4, 则直线MO的方程为y=y1x,将y=y1x与y2=4x联立,解得A点 的坐标为 同理可得B点的坐标为 则直线AB的方程为 整理,得(y1+y2)y4x+4=0.,由 故动直线AB恒过一个定点(1,0),热点考向 2 定值的探究与证明问题 【典例2】(2013北京模拟)椭圆T的中心为坐标原点O,右焦 点为F(2,0),且椭圆T过点E(2, ).ABC的三个顶点都在椭圆T 上,设三条边(AB,BC,AC)的中点分别为M,N,P. (1)求椭圆T的方程. (2)设
12、ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,且 ki0,i=1,2,3.若直线OM,ON,OP的斜率之和为0. 求证: 为定值.,【解题探究】 (1)设椭圆T的方程为 (ab0), 则a=_,b=_. (2)证明 为定值的两关键点: 表示:将 中的量k1,k2,k3用 _表示; 化简:利用约束条件:_化简得定值.,2,动点M,N,P的坐标,kOM+kON+kOP=0,【解析】(1)设椭圆T的方程为 (ab0), 由题意知:左焦点为F(-2,0), 所以2a=EF+EF= 解得a= b=2. 故椭圆T的方程为,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),M(s1,t1)
13、,N(s2,t2), P(s3,t3). 方法一:由 两式相减,得到(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0, 所以 即 同理 所以 又因为直线OM,ON,OP的斜率之和为0, 所以,方法二: 设直线AB:y-t1=k1(x-s1), 代入椭圆x2+2y2=8, 得到 化简得 以下同方法一.,【方法总结】求解定值问题的两大途径 (1)由特例得出一个值(此值一般就是定值) 证明定值:将问题转化为证明 代数式与参数(某些变量)无关 (2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其满足的约束条件正负项抵消或分子分母约分得定值.,【变式训练】(2013天津模拟)已知E(2,
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- 世纪 金榜 二轮 专题 辅导 练习 三讲
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