微分方程数值解第一章答案.ppt
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1、1,北京中国地质大学 China University of Geosciences,Beijing,微分方程数值解法,教材: 微分方程数值方法 (第二版), 胡健伟,汤怀民著, 科学出版社, 2007,2,参考书: 微分方程数值解法 李荣华等编, 高教出版社,2,参考书: 微分方程数值解法 李荣华等编, 高教出版社 课堂授课+计算实验 考核方式: 平时作业+课堂+期末考试 任课教师,3,第一章、常微分方程的数值解法 第二章、椭圆型方程的差分方法 第七章、椭圆型方程的有限元方法 第四章、抛物型方程的差分方法 第五章、双曲型方程的差分格式,教学内容,第一章 基本概念,4,第一章 常微分方程初值问
2、题 的数值解法,教学目标 教学重点 教学过程,5,教学目标,了解ODE数值解法的基本内容, 掌握Euler法和线性多步方法, 会判断常用方法的优劣之处.,第一章 基本概念,6,教学重点,基本概念和Euler法 线性多步方法 稳定性,第一章 基本概念,7,教学过程,常微分方程基本概念 常微分方程初值问题 Euler法及其基本问题 线性多步方法 数值稳定性 Runge-Kutta方法,8,1: 常微分方程的基本概念,微分方程: 常微分方程和偏微分方程 阶 解,通解和特解 定解问题: 初值问题和边值问题,9,常微分方程,偏微分方程,联系着自变量, 未知函数及其导数(微分)的方程, 称为微分方程 .,
3、:未知函数是一元函数,分类,微分方程: 常微分方程和偏微分方程,:未知函数是多元函数,10,方程中未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.,一阶微分方程,三阶微分方程,一阶微分方程,例如:,微分方程的阶,11, 是使方程成为恒等式的函数.,通解, 解中所含独立的任意常数的个数与方程,的阶数相同.,特解,微分方程的解, 不含任意常数的解.,(微分方程的绝大部分解),解, 通解, 特解,12, 确定通解中任意常数的条件.,1) n 阶方程的初始条件(或初值条件):,定解条件,定解条件: 初值问题和边值问题,2) n 阶方程的边界条件(或边值条件):,13,2 初值问题:标量形式,考虑一阶常微分方程
4、初值问题:,存在性:f(t,u)在定义域上连续,唯一性:f(t,u)关于u满足Lipschitz条件,14,常微分方程来源举例1,问题1.1 上上世纪初英国物理学家Rutherford发现放射性元素的原子是不稳定的,在每一段时间内总有一定比例的原子自然衰变而形成新元素的原子. 记t时刻放射性物质的原子数为x(t), 据观测单位时间内衰变原子的个数x与当时放射性原子数x(t)之比为常数a. 考虑到放射过程中 x0, 因此a0为负实数. 这时有方程,15,问题1.2 世界上生物种类多种多样, 对特定生物种群的数量进行预测,是制定对该生物实施保护还是控制的依据. 设t时刻某种群的数量为x(t),单位
5、时间内种群数量的增加量 x和当时数量的比值为a-bx(t),其中a, b0为常数. 这样得到方程,常微分方程来源举例2,Logistic方程,16,问题1.3 并不是所有的方程可以用初等积分法求出其解, 例如形式上很简单的里卡蒂(Riccati)方程,常微分方程举例3,不能用初等函数表示通解.,寻求方程非解析函数的其它形式解, 显得非常必要。而数值求解就是其重要的一个方法,17,2 Euler方法,18,计算在离散点(节点)的值,有,这就是Euler法的计算公式,19,举例1,利用Euler方法计算初值问题,的解在t=0.3处的数值解.步长h=0.1,解: Euler公式为:,20,举例2,P
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- 微分方程 数值 第一章 答案
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