数值分析9-常微分方程的差分方法.ppt
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1、第三章 常微分方程的差分方法,高 云,问题的提出,实际中,很多问题的数学模型都是微分方程。我们可以研究它们的一些性质。但是,只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程是没有解析解的。,常微分方程作为微分方程的基本类型之一,在自然界与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题。很多偏微分方程问题,也可以化为常微分方程问题来近似求解。,常微分方程的定解问题, 考虑一阶常微分方程的初值问题,只要 f (x, y) 在a, b R1 上连续,且关于 y 满足 Lipschitz 条件,即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 a, b 上的 y1(x
2、) 和 y2(x) 都成立,则上述问题存在唯一解。,差分方法,要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1 xn= b 处的近似值,节点间距 为步长,通常采用等距节点,即取 hi = h (常数)。,在这些节点上采用离散化方法,(通常用数值积分、微分、 泰勒展开等)将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。 把这个相应问题的解yn作为y(xn)的近似值。这样求得的yn就是 上述初值问题在节点xn上的数值解。一般说来,不同的离散化 导致不同的方法。,欧拉公式,向前差商近似导数,亦称为欧拉折线法,欧拉格式的误差,Ri 的主项, 欧拉法的局部截断误差:,欧拉法具有 1 阶精度。,例题1
3、,如何求解此问题?,隐式欧拉格式,由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边,不能直接得到,故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式,而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。,隐式欧拉格式的代数精度是几阶的?,两步欧拉格式,中心差商近似导数,假设 ,则可以导出 即中点公式具有 2 阶精度。,需要2个初值 y0和 y1来启动递推 过程,这样的算法称为双步法 /* double-step method */,而前面的三种算法都是单步法 /* single-step method */。,初值问题的积分形式,一阶方程的初值问题与积分方程,当x = x1时,,借助于数值积分,
4、求y(x1)的值,用矩形公式,是等价的,梯形公式,用梯形公式,同理,简单,精度低,稳定性最好,精度低, 计算量大,精度提高,计算量大,精度提高, 显式,多一个初值, 可能影响精度,各种方法的比较,改进的欧拉格式,注:此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector method */。可以证明该算法具有 2 阶精度,同时可以看到它是个单步递推格式,比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到,它的稳定性高于显式欧拉法。,龙格-库塔方法,龙格-库塔方法的设计思想,根据微分中值定理,根据初值条件定义,则,平均斜率,改进的欧拉格式,斜率 一定取K1 K2 的平均值吗?,步长一定是一个
5、h 吗?,二阶龙格-库塔方法,首先希望能确定系数 1、2、p,使得到的算法格式有2阶精度,即在 的前提假设下,使得,Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开,二阶龙格-库塔方法(续),Step 2: 将 K2 代入第1式,得到,Step 3: 将 yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较,二阶龙格-库塔方法(续),要求 ,则必须有:,这里有 个未知数, 个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔格式。,注意到, 就是改进的欧拉法。,Q: 为获得更高的精度,应该如何进一步推广?,龙格-库塔方法一般推导公
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