数学建模赛跑时运动员.ppt
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1、问题 赛跑时运动员要根据自己的体力来合理安排速度是重要的技术问题。能充分发挥运动员的潜力。使得比赛的成绩有所提高。那么如何安排体能使比赛成绩达到最佳?,变分法简介,众所周知,平面上两点的距离以直线段最短,现在我 们用数学的方法来推导这一结论.,设平面上两定点为 和 这两点的 连线的方程为 弧段 的长为,显然函数 还需满足条件:,则原问题转变为求函数 使得成立并使 弧长 取最小值。,由于 故积分,当 时取最小值,即该曲线为直线段时距离达到 最小值。,一、固定端点的简单泛函极值问题,设 为函数类,若有法则,使在该法则之下,对 中的每一个元素都可以确定一个相应的数与之对应, 则称该法则为 上的一个泛
2、函。,例如,取 区间上的黎曼可积函数 类,定义泛函 为,在此定义之下,函数类 称为泛函的定义域,泛函一,般记为,考虑简单泛函,其中,函数 且,问题是求函数 满足条件,并使由式定 义的泛函取得极小值或极大值。这样的问题称为泛函,极值问题。,假设函数 使泛函 取得极值,任 意取得函数 要求它满足条件,若限制函数在 的范围中,则函 数,在 时取得极值。,由函数取得极值的必要条件,有 因,再由复合函数微分法,得,再由分部积分公式,第二项积分可化为,由得,因而有,所以,,由函数 的任意性及因子 的连续性, 则有,是使泛函 取得极值的函 数应满足的方程。这个方程成为Eular方程。,注意到,Eular方程
3、经展开后,成为,该方程为一个二阶常微分方程,方程的解还需满足条件 ,即,二、固定端点的简单泛函的条件极值问题,考虑简单泛函,其中函数 且,及满足条件,求函数 满足条件和并使由式定义的泛 函取得极小值。这样的问题就称为泛函条件极值问题。,如同条件极值,泛函条件极值问题也可拉格朗日乘数 法加以解决。为此作辅助函数,和辅助泛函,其中 为引入的待定常数。,得到的使泛函 取极值的函数 即为 原问题的解。,赛跑的最优速度安排,问题 赛跑时运动员要根据自己的体力来合理安排速 度是重要的技术问题。能充分发挥运动员的潜力。使得 比赛的成绩有所提高。那么如何安排体能使比赛成绩达 到最佳?,假设,1.运动员能发挥出
4、的最大冲力是有限的。在除了其它 因素的干扰下,每个运动员认为自己的最大冲力是常数。,2.在运动的时候,来自体外的阻力和来自体内的阻力 存在,与速度成正比;,3.在运动过程中,运动员通过呼吸从外界吸入氧气, 然后通过体内的消化系统、血液系统等进行新陈代谢作 用,为运动员提供能量。假定运动员足够强壮,使得这,种能量的提供速度在运动期间保持常量。,4.运动员在运动过程中体内所存储的能量是逐渐减少 的。对每个运动员来说,在平时能提供的体能可设为常 量。这个量就是运动刚开始时体能的初始值。,建模,假设比赛距离为 运动员跑的时间为 速度函数为 则有,则问题转变为求速度 使得在赛跑距离 一定时, 赛跑时间
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