数学建模非线性规划模型.ppt
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1、第三节 非线性规划模型,在数学规划问题中,当目标函数或约束函数中至少有一个是非线性函数时称这类问题为非线性规划。 一、非线性规划的一般(标准)形式 设 均为 上的实值函数,某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆 一般来说随着彩漆售价的提高,预期销售量将减少, 并对此进行了估算,见表1。为了尽快收回资金并 获得较多的赢利,装饰材料公司打算做广告投入一定 的广告费后,销售量将有一个增长,可由销售增长因 子来表示。根据经验,广告费与销售增长因子关系见 表2。现在的问题是装饰材料公司采取怎样的营销 战略预期的利润最大?,广告的费用及其效应,表1 表2,符号说明及问题的分析,设x表示售价(单位:元
2、),y表示预期销售量 (单位:桶),z表示广告费(单位:元),k表示 销售增长因子。投入广告费后,实际销售量记为s 获得的利润记为P(单位:元)。由表1易见预期 销售量 y 随着售价x 的加而单调下降,而销售增长 因子k在开始时随着广告费z的增加而增加,在广告 费z等于50000元时达到最大值,然后在广告费增加 时反而有所回落,为此可用Mathematica画出散点图.,图1 图2,从图1和图2易见,售价x与预期销售量y近似于 一条直线,广告费 z 与销售增长因子k近似于一条 二次曲线。为此可令: y=a+bx k=c+dz+ez2 系数a,b,c,d,e是特定参数。 模型的建立 投入广告费后
3、,实际销售量s等于预期销售量y乘 以销售增长因子k,即s=ky。所获得的利润。,我们期望利润P达到最大,即,由于目标函数不是线性函数,因此这一问题的数学 模型为有约束条件的非线性规划模型。在日常生活 中非线性规划问题要比线性规划问题普遍。 模型求解 首先利用Mathematica计算(1)(2)中的参数a, b,c,d,e,并画出散点图和拟合曲线。,图-3,图-4,即: 其次用MATLAB求解优化模型,因MATLAB中仅 能求极小值,为此将优化模型转化为 且x=5.9113,z=33113,函数P达到最大值16670。,第三节 多目标规划模型 在工程技术、生产管理以及国防建设等部门中,所遇到的
4、问题往往需要同时考虑多个目标在某种意义下的最优问题 一、引例 例2.9 投资问题。假设在一段时间内,有数量为B亿元的资金可用于投资,并有 个项目可供选择。如果对第 个项目投资的话,需用资金 亿元,并可获得收益 亿元,试确定最佳投资方案。 解 所谓最佳投资方案系指:投资最少;收益最大。若令目标函数为求:投资最少:收益最大.,若令 目标函数为求; 投资最少: 收益最大: 约束函数为: 二、多目标规划模型 多目标规划模型的一般形式为,我们称它为多目标规划问题的数学模型。 当时所有目标函数都求最大值,只须注意,求一个函数的最大值可以转化为求这个函数的负函数的最小值,便知这时的数学模型可以转化为,投资的
5、收益和风险,这是1998年全国大学生数学建模竞赛的A题, 问题如下:市场上有n种资产(股票、债券、) Si(i=1,n)供投资者选择,某公司有数额为 M的一笔相当大的资金可用作一个时间的投资。 公司财务分析人员对这n种资产进行了评估,估 算出在这一时期内购买Si有平均收益率为ri,并预 测出购买Si的风险损失率为qi。考虑到投资越分散 总的风险越小,公司确定,当用这笔资金购买若,干种资产时,总体风险可用所投资的Si中最大的一 个风险来度量。购买Si要付交易费,费率为pi,并且 当购买额不超过给定值ui时,交易费按购买ui计算 (不买当然无须付费)。另外,假定同期银行存款 利率是r0,且既无交易
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