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1、2019/2/24,胡朝明,531,上一讲内容回顾,概率空间 随机试验、样本空间、随机事件体、概率、概率空间、概率的性质,2019/2/24,胡朝明,532,本讲主要内容,概率空间 条件概率、乘法公式、事件的独立性、全概率公式与贝叶斯公式 随机变量及其分布程 随机变量、分布函数 离散型随机变量及其分布律 连续型随机变量及其概率密度 常见的随机变量及其分布 n维随机变量 随机变量函数的分布,2019/2/24,胡朝明,533,四、条件概率,设概率空间(,F,P),AF,BF,且P(A)0,在事件A已经发生的条件下,事件B发生的条件概率定义为:,给定概率空间(,F,P),AF,且P(B)0,对任意
2、BF有P(B|A)对应,则条件概率P(B|A)是(,F)上的概率,记P(B|A)PA,则(,F,PA)也是一个概率空间,称为条件概率空间。,2019/2/24,胡朝明,534,五、乘法公式,设概率空间(,F,P),如果A,BF,且P(AB)0,则下述乘法公式成立: P(AB)P(A)P(B|A)P(B)P(A|B),推广:,设概率空间(,F,P),如果AiF,i=1,2,n且P(A1A2An)0,则下述推广的乘法公式成立: P(A1A2An) P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1),2019/2/24,胡朝明,535,六、事件的独立性,如果事件A,BF,满足
3、 P(AB)P(A)P(B), 则称事件A与B相互独立。 如果事件A1,A2,AnF,且对任意s(2sn)和任意的1i1i2isn,有 P(Ai1Ai2Ais)P(Ai1)P(Ai2)P(Ais), 则称事件事件A1,A2,An相互独立。,2019/2/24,胡朝明,536,六、随机事件独立性的性质,A与B相互独立A与B相互独立 A与B相互独立 A与B相互独立 A与B相互独立P(B|A)P(B) (P(A)0) P(A|B)P(A) (P(B)0) P(B|A)P(B|A) (0P(A)1) 设A1,A2,An相互独立,若将其中任意m个(1mn)事件换成它们的逆事件,则所得的n个事件仍然相互独
4、立。 设A1,A2,An相互独立,则,2019/2/24,胡朝明,537,七、全概率公式与贝叶斯公式,设事件组B1,B2,Bn两两互不相容,即BiBj (1ijn),且 ,P(Bi)0,i=1, 2,n,则对任意事件A,有,全概率公式:,贝叶斯公式:,j=1,2,n。,2019/2/24,胡朝明,538,1.2 随机变量及其分布,一、随机变量 设(,F,P)为概率空间,如果定义样本空间上的一个单值实函数XX(),满足 :X()xF -x+ 则称X()为随机变量。随机变量缩写为R.V.。,二、分布函数 设XX()是概率空间(,F,P)上的随机变量,对任意实数x,定义函数 F(x)PXx -x+
5、称为R.V.X的概率分布函数,简称分布函数。,2019/2/24,胡朝明,539,分布函数的性质,0F(X)1;,F(x)是单调不减函数,即对任意x1x2,有 F(x1)F(x2); F(x)是左连续函数,即对任意x有 F(x-0)F(x)。,2019/2/24,胡朝明,5310,三、离散型随机变量及其分布律,若随机变量X至多只取可列无穷多个数值:x1,x2,xn,,令pkPXxk,它满足: (1)pk0, (2) 1, 则称X为离散型随机变量,并称 PXxkpk,k=1,2, 为X的分布律或概率分布。 离散型X.V.X的分布函数:,它是左连续单调不减的阶梯函数,在xxk处有第一类跳跃型间断点
6、,其跳跃度为pk。,2019/2/24,胡朝明,5311,离散型R.V.X的表示,分布律(函数形式):,分布函数:,其中(x)为单位脉冲函数,(x)为单位阶跃函数,定义为:,2019/2/24,胡朝明,5312,例,设R.V.X的分布律为:,求X的分布律和分布函数。,解:,2019/2/24,胡朝明,5313,四、连续型随机变量,若存在非负可积函数f(x),对任意实数x,使 得R.V.X的分布函数满足:,则称X为连续型随机变量,称f(x)为连续型随机变 量的概率密度函数,简称概率密度。,2019/2/24,胡朝明,5314,概率密度函数的性质,f(x)0;,2),如果一个函数f(x)具有性质1
7、)、2),则它一定是某个R.V.X的概率密度。,在f(x)的连续点处,F(x)f(x); 连续型R.V.X取某个值的概率为0,即 PX=x0,x(-,+); 连续型R.V.X落在区间的概率,与区间的开、闭无关,即 PaXbPaXbPaXb PaXbF(b)F(a),故对连续型R.V.X而言,PXxPXxF(x).,2019/2/24,胡朝明,5315,例,已知R.V.X的概率密度,求:1)分布函数F(x);2)概率PX1。,解 1),2),注 PX1也可直接由分布函数得出:,2019/2/24,胡朝明,5316,五、常见的随机变量及其分布,分布(两点分布) 如果R.V.X的分布律为:,0p1,
8、p+q=1,则称R.V.X服从分布,记为X分布或XB(0,1)。,一个随机试验仅有两种结果,A和 ,定义随机变量,P(A)p,P( )q1-p,即X分布。,2019/2/24,胡朝明,5317,2.贝努里试验、二项分布,如果随机试验E满足:将一个试验在相同条件下重复进行n次, 各次试验仅有两个结果A和 ,事件A的概率在各次试验中保持不变,P(A)p,P( )1-p; 各次试验的结果互不影响, 则称随机试验E为n次贝努里试验。,定理 在n次贝努里试验E中,事件A出现的次数X的分布律为:,如果随机变量X的分布律为,0p1,p+q=1,k=0,1,2,n,则称X服从参数为n,p的二项分布,记为XB(
9、n,p)。,2019/2/24,胡朝明,5318,3.泊松(S.D.Poisson)分布,如果R.V.X的分布律为,则称R.V.X服从参数为的泊松分布,记为X()。,泊松分布在理论和应用上都很重要,例如,在单位时间内,某电话交换台接到的电话呼叫次数;到达某服务台的顾客数;某放射源放射的粒子数;某自动控制系统损坏的元件个数;等等,都服从泊松分布。,2019/2/24,胡朝明,5319,4.均匀分布,如果R.V.X的概率密度为,则称R.V.X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为XU(a,b),X的分布函数为,2019/2/24,胡朝明,5320,5.(负)指数分布(寿命分布),如果R.V.X的概率
10、密度为,则称R.V.X服从参数为的(负)指数分布(寿命分布),X的分布函数为,2019/2/24,胡朝明,5321,6.正态分布(高斯分布),如果R.V.X的概率密度为,则称R.V.X服从参数为和2的正态分布(高斯分布),记为XN(,2),X的分布函数为,特别地,=0,2=1时的正态分布称为标准正态分布,记为R.V.XN(0,1),其概率密度和分布函数特别记为:,2019/2/24,胡朝明,5322,7.-分布,如果R.V.X的概率密度为,则称R.V.X服从参数为,的-分布,记为X(,)。,这里,-函数定义为,可证得,(+1)(),(n+1)n!,(1)1。,2019/2/24,胡朝明,532
11、3,8.2-分布,如果R.V.X的概率密度为,则称R.V.X服从自由度为n的2-分布,记为X2(n),显然,,2019/2/24,胡朝明,5324,9.k阶爱尔朗(Erlang)分布,如果R.V.X的概率密度为,则称R.V.X服从参数为(0)的k阶爱尔朗分布,记为XEk,其分布函数为,2019/2/24,胡朝明,5325,六、二维随机变量,如果X和Y是定义在同一概率空间(,F,P)上的两个随机变量,则称(X,Y)为二维随机变量,记为二维R.V.(X,Y)。,设(X,Y)是二维随机变量,定义函数 F(x,y)PXx,Yy, -x+,-y+ 为R.V.(X,Y)的二维联合分布函数。,2019/2/
12、24,胡朝明,5326,二维联合分布的性质,0F(x,y)1;F(+,+)1; F(-,y)F(x,-)F(-,-)0; F(x,y)对每个变量都是单调不减函数; F(x,y)对每个变量都是左连续函数; 对任意x1x2,y1y2,有 F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)0。,2019/2/24,胡朝明,5327,离散型二维随机变量,如果二维若随机变量(X,Y)至多只取可列无穷多对数值(xi,yj),i,j=1,2,,令pijPXxi,Yyj,它满足: (1) pij0, (2) 1, 则称(X,Y)为离散型二维随机变量。 称 pijPXxi,Yyj,i,j=1,2,
13、 为(X,Y)的联合分布律。称,为(X,Y)的联合分布函数。,2019/2/24,胡朝明,5328,边缘分布律、条件分布律,为R.V.X的边缘分布律。称,为R.V.Y的边缘分布律。称,为在已知Y=yj的条件下,R.V.X的条件分布律。称,为在已知X=xi的条件下,R.V.Y的条件分布律。,如果pijpi.p.j,i,j=1,2,,则称R.V.X与Y相互独立,称,2019/2/24,胡朝明,5329,例,袋中有3个白球和2个红球。分别a)不放回、b)有放回地逐一摸球,共摸两次,分别用X和Y表示第一次、第二次摸到的红球数。试分a)、b)两种情形,求(X,Y)的联合分布率、联合分布函数、边缘分布律、
14、条件分布律,并讨论X与Y是否独立。,解: a)不放回摸球。 (X,Y)的联合分布律、 边缘分布律,因pijpi.p.j, X与Y不相互独立,2019/2/24,胡朝明,5330,例(续),(X,Y)的联合分布函数,,条件分布律,2019/2/24,胡朝明,5331,例(续),b)有放回摸球。 (X,Y)的联合分布率、 边缘分布率,(X,Y)的联合分布函数,因pijpi.p.j(i,j=0,1), X与Y相互独立,2019/2/24,胡朝明,5332,连续型二维随机变量,若存在非负可积函数f(x,y),使得二维R.V.(X,Y)的联合分布函数满足:,则称(X,Y)为连续型二维随机变量,并称f(x
15、,y)为连续型二维随机变量的联合概率密度函数,简称联合概率密度。,2019/2/24,胡朝明,5333,联合概率密度的性质,1)f(x,y)0;,如果一个函数f(x,y)具有性质1)、2),则它一定是某个二维R.V.(X,Y)的概率密度。,3)在f(x,y)的连续点(x,y)处,有,4),2),2019/2/24,胡朝明,5334,边缘分布函数,设二维R.V.(X,Y)的联合分布函数为F(x,y), FX(x)F(x,+), -x+ 称为R.V.X的边缘分布函数。 FY(y)F(+,y), -y+ 称为R.V.Y的边缘分布函数。,设二维R.V.(X,Y)的联合概率密度为f(x,y), , -x
16、+ 称为R.V.X的边缘概率密度函数。 , -y+ 称为R.V.Y的边缘概率密度函数。,2019/2/24,胡朝明,5335,条件概率密度与条件分布函数,fY|X(y|x)f(x,y)fX(x),-x+,-y+ 称为已知X=x的条件下,R.V.Y的条件概率密度。 fX|Y(x|y)f(x,y)fY(y),-x+,-y+ 称为已知Y=y的条件下,R.V.X的条件概率密度。,称为已知X=x的条件下,R.V.Y的条件分布函数。,称为已知Y=y的条件下,R.V.X的条件分布函数。,2019/2/24,胡朝明,5336,相互独立,如果二维R.V.(X,Y)对任意的x,y有 PXx,YyPXxPYy -x
17、+,-y+ 等价地有 F(x,y)FX(x)FY(y) -x+,-y+ 则称R.V.X与Y相互独立。,显然,对连续型二维R.V.(X,Y),X与Y独立的 充分必要条件是对连续点有 f(x,y)fX(x)fY(y) -x+,-y+,2019/2/24,胡朝明,5337,例,已知R.V.(X,Y)服从二维指数分布,其联合密度为,其中, 、是大于零的常数,求:联合分布函数、边缘分布函数、边缘概率密度、条件概率密度,并讨论X与Y的独立性。,解: R.V.(X,Y)的联合分布函数为,2019/2/24,胡朝明,5338,例(续),边缘分布函数为,边缘概率密度为,2019/2/24,胡朝明,5339,例(
18、续),由于 f(x,y)fX(x)fY(y),(x,y)R2, 所以,X与Y相互独立。,条件概率密度为,2019/2/24,胡朝明,5340,七、n维随机变量,如果X1, X2, , Xn是定义在同一概率空间 (,F,P)上的n个随机变量,则称(X1, X2, , Xn) 为二维随机变量,记为n维R.V.(X1, X2, , Xn )。,n维联合分布函数 k维边缘分布函数 独立,推广:,2019/2/24,胡朝明,5341,八、随机变量函数的分布,设(X1, X2, , Xn )为n维随机变量,若已知其 联合分布,又设有k个X1, X2, , Xn的函数,其中gi(.) (i=1,2,k)均为
19、n元连续函数,讨论(Y1, Y2, , Yk )的联合分布 一般方法:n重求和或n重积分。,2019/2/24,胡朝明,5342,定理,设连续型R.V.X的概率密度函数为f(x),xR, yg(x)是连续函数,则Yg(X)是连续型R.V.,其分布函数为,R.V.Y的概率密度为fY(y)FY(y),yR。,2019/2/24,胡朝明,5343,定理,设连续型R.V.(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y), g(x,y)是连续函数,则Zg(X,Y)是连续型一维R.V.,Z的分布函数为,概率密度函数为,2019/2/24,胡朝明,5344,定理,设R.V.(X,Y)的联合概率密度函数为fX,Y(
20、x,y),如果u g1(x,y)和v g2(x,y)是连续函数,且满足下列条件:,存在唯一的反函数,有连续的一阶偏导数;,变换行列式(雅可比行列式),则二维R.V.(U,V)的联合概率密度为 fU,V(u,v)=fX,Yh1(u,v),h2(u,v)|J|。,2019/2/24,胡朝明,5345,例,已知离散型R.V.(X,Y)的联合概 率分布如右表所示,求 (1) Z1XY; (2) Z2max(X,Y) 的分布律。,解: Z1的分布律和Z2的分布律如下:,X,Y,Pij,2019/2/24,胡朝明,5346,例,设XN(0,1),求y=x2的概率密度函数fY(y)。,解: 由y=x2,有x
21、1= - ,x2= ,y0,故,2019/2/24,胡朝明,5347,例,设r.v. XN(0,1),YN(0,1)且相互独立, UX+Y,VX-Y,求: r.v.(U,V)的联合概率密度fU,V(u,v); r.v.U与V是否独立?,解:1. r.v.(X,Y)的联合概率密度为,2019/2/24,胡朝明,5348,例(续),由 解得反函数,从而r.v.(U,V)的联合概率密度为,变换行列式,2019/2/24,胡朝明,5349,例(续),2. U,V的边缘概率密度为,由于 fUV(u,v)fU(u).fV(v) (u,v)R2 故UX+Y,VX-Y相互独立。,2019/2/24,胡朝明,5350,本讲主要内容,概率空间 条件概率、乘法公式、事件的独立性、全概率公式与贝叶斯公式 随机变量及其分布程 随机变量、分布函数 离散型随机变量及其分布律 连续型随机变量及其概率密度 常见的随机变量及其分布 n维随机变量 随机变量函数的分布,2019/2/24,胡朝明,5351,下一讲内容预告,随机变量的数字特征 数学期望 方差 k阶矩 协方差 条件数学期望 随机变量的特征函数,
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