乌鸦和狐狸的故事ppt.ppt
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1、第六模块数列 第二十七讲 数列的概念与简单表示法,回归课本,1.数列的定义 数列是按照一定顺序排列着的一列数,在函数意义下,数列是定义域为正整数集N+(或它的有限子集1,2,3,n)的函数,即当自变量从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值,其图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一系列孤立的点,数列的一般形式为a1,a2,an,通常简记为an,其中an是数列an的第n项,也叫做通项.,2.数列的通项公式 一个数列an的第n项an与序号n之间的关系,如果可以用一个式子an=f(n)来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式. 数列的通项公式是研究数列的最佳载体,因此确定一个数列是
2、否有通项公式,以及如何求出这个通项公式,是解决数列问题的关键.求通项公式的常用方法有:观察分析法累差法累商法和公式法等.,3.数列的表示方法 从函数的观点看,数列的表示方法有:列表法图象法解析法. 4.数列的分类 (1)按照项数是有限还是无限来分:有穷数列无穷数列. (2)按照项与项之间的大小关系来分:递增数列递减数列常数列摆动数列. (3)按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分:有界数列无界数列.,5.数列an与Sn之间的关系 Sn=a1+a2+a3+an,an= 6.数列的递推公式 如果已知数列an的第1项(或前几项),且从第2项起(或某一项)任意一项an与它的前一项an-1(或前几项
3、)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.等差数列与等比数列是最基本的递推数列,递推数列的基本问题是由递推关系求通项公式.,考点陪练,1.(2010安徽)设数列an的前n项和Sn=n2,则a8的值为() A.15 B.16 C.49 D.64 解析:a8=S8-S7=82-72=15. 答案:A,2.下列说法正确的是() A.数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7 B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列 C.数列 的第k项为 D.数列0,2,4,6,可记为2n,解析:根据数列的定义与集合定义的不同可知A,B不正确;D项2n中的nN*,故不正
4、确;C中an= ak= 答案:C,3.已知数列an的通项公式是an= ,那么这个数列是( ) A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列,解析:解法一:an+1-an= ,an+1an,数列an为递增数列.,答案:A,4.设数列an中,a1=1,n2,都有a1a2a3an=n2,则a3+a5=( ),分析:从理论上说,如果已知数列的首项和递推公式可以求出这个数列的任何一项,但当序号较大时,利用递推公式来求是很麻烦的,从这一点来说数列的通项公式要比递推公式更为深刻,当序号较小时可用解法二,如果由递推公式能很快地推导出通项公式,还是用通项公式来求解,这样能使得计算简捷准确.,解析:解法一
5、:由已知a1a2a3an=n2得 an= ,n2,nN*, 将a1a2an-1=(n-1)2,n3,nN*, 代入an得an= (n3). 当n=2时适合此式,当n=1时不适合此式. an= a3+a5= ,选A.,解法二:当n=2时,a1a2=4,a2=4. 当n=3时,a1a2a3=9,a3= 当n=4时,a1a2a3a4=16,a4= 当n=5时,a5= ,a3+a5= ,选A. 答案:A,5.数列an中,a1=1,a2=2,当nN*时,an+2等于anan+1的个位数,若数列an的前k项和为243,则k=( ) A.61 B.62 C.63 D.64,解析:依题意,得a1=1,a2=2
6、,a3=2,a4=4,a5=8,a6=2,a7=6,a8=2,a9=2,a10=4,a11=8,a12=2,a13=6,数列an除第一项外,其余的项形成以6为周期的数列,且从a2到a7这六项的和等于24.注意到243=1+2410+2,因此k=1+610+1=62.故选B. 答案:B,类型一 由前n项探索数列的通项公式 解题准备:观察法就是观察数列的特征,找出各项共同规律,横看“各项之间的关系结构”,纵看“各项与项数n的关系”,从而确定出数列的通项.,利用观察法求数列的通项时,要抓住以下几个特征: (1)分式中分子分母的特征; (2)相邻项的变化特征; (3)拆项后的特征; (4)各项符号特征
7、等,并对此进行归纳联想. 注意:一个数列的通项公式的表达形式不一定唯一.,【典例1】根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式. (1)1,0,1,0,; (2)1,1,2,2,3,3,; (3) ,.,(3)奇数项为负,偶数项为正,故选用(-1)n确定符号.由观察知分子为2n,而分母为两个连续奇数的积即(2n-1)(2n+1). an=(-1)n,反思感悟由给出的前n项求通项公式时,常由数列的各项中的有关元素与项数之间相关变化归纳出规律,并对找出的规律加以验证.这种问题显然较简单且单纯,此类题型在高考题中也少有出现,但它是“猜想证明”的前提,在高考中占有很重要的地位.,类型二 简单的数列递推公
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