学习高等数学有思想障碍的请看.ppt
《学习高等数学有思想障碍的请看.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《学习高等数学有思想障碍的请看.ppt(57页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、第一节直与曲,第二节常量与变量,第三节连续与间断,第四节有限与无限,第五节抽象与具体,第六节局部与整体,第七节偶然性与必然性,高等数学中的辩证思想方法,退出,第一节 直与曲,直与曲是两个完全不同的数学概念. 从直观形象看,前者平直后者弯曲;从几何特性来看,前者曲率为0,后者曲率不恒为0;从代数表达式来看,前者是线性方程,后者是非线性方程. 因此, 直与曲的差别是明显的, 那么这两个差别如此显著的对立概念是否存在内在联系,能否在一定条件下互相转化呢?,恩格斯曾经指出,“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾,在一定条件下直线和曲线应当是一回事.”,高等数学正是利用直与曲以及其它一些矛盾的转化达到了
2、初等数学所不能达到的目的.,返回,从高等数学的思想方法中可以看出,直与曲除了有非直即曲的一面,也存在亦直亦曲的一面. 存在直与曲之间的中介状态,通过这个中介状态实现直与曲的转化. 比如,曲线的渐近线是指, 在曲线无限延伸时与一条定直线“无限接近,但永不相交”, 其数学表达式如下确定:,设曲线为yf(x),其渐近线为y = k xb, 则,问:对于任意大的正数X, 曲线y=f(x)上 当X 时的那一部分是曲线还是直线?,返回,答案当然应该是曲线,因为这部分是整个曲线yf(x)的一部分,这部分上每一点的曲率都不为0. 但它又很象直线,而且延伸越远就越象直线, 虽然每点曲率均不为0,但在延伸过程中,
3、曲率无限趋近于0. 因此,在无限延伸部分就很难分出它是直线还是曲线,可以说它是“亦直亦曲”,是直线与曲线之间的一种中间状态. 既是带有直线性质的曲线,也是具有“曲”性的“直线”,是直与曲对立的“中介”,它处于“亦直亦曲”的状态.,返回,在高等数学中,利用直与曲的这种中介状态, 实现局部范围内的“以直代曲”,是高等数学中的一种基本的辩证思想方法.,例1求曲边梯形的面积.,第一步:化整为零. 首先,把曲边梯形的底边任意分成n段,然后以每一小段为底边,用平行于y轴的直线把曲边梯形分割成n个小的曲边梯形.,第二步: 以直代曲. 在每个小曲边梯形中把曲边看成直边,于是就可以用这些小“直边矩形”的面积近似
4、地代小曲边梯形的面积. 这样在分割的条件下实现了局部的“以直代曲”.,返回,第四步:取极限. 通过取极限,再把分割无限加细,近似程度会越来越高,从而使小直边矩形面积的和转化为原来曲边梯形的面积.,这样一来,局部的“直”经过无限积累又反过来转化为整体的“曲”,最后得出了曲边梯形的面积. 这就是定积分定义中分割、求和、取极限的辩证思维过程.,第三步:积零为整. 把n个小“直边矩形”的面积累加起来,用这n个小直边矩形的面积之和在整体上近似地代替原曲边梯形的面积. 这种代替当然是有误差的, 为了消除这种误差,还需进行第四步.,返回,例2 已知物体在区间a,b上任意一点x处的平行截面积为A(x), 求物
5、体的体积V.,微元法 :,在任意一点x处作x的微元dx, 过x与x + dx作垂直于x轴的平面, 截得物体的面积分别为A(x)与A(x + dx). 一般地说,A(x)与A(x +dx)是不相等的,从物体中截得的部分是以A(x)与A(x+dx)为上、下底的曲柱体. 但由于dx很小, 因此可以“以直代曲”. 将截得的曲柱体近似的看作以A(x)为底,以dx为高的直柱体, 于是得体积微元A(x)dx (图5-4). 然后将体积微元在a, b上累积起来,就得到物体的体积V.,返回,例3 已测得某水库深水体积V(万方)和水深H(米)之间的对应数值表,利用描点法描出的曲线近似抛面线,返回,假设 V = a
6、H2, 作变换 H2 = h, V = v,曲线方程 V = aH2 转化为直线方程 v = ah,得对应的数值表,在hv直角坐标系中描点,用直线型经验公式可确定出 v = 0.504h. 然后再代回曲线方程,得 V = 0.504H2.,返回,必须指出:“直曲转化”是有条件的,并非任何情况下都 可“以直代曲”.,如,求半径为r的半圆周长. 如果我们不是用弦来代替圆弧,而是用平行于直径的线段来代替圆弧, 则结果求得半圆周长为2r ;,返回,如果我们用平行于直径的线段与垂直,于直径的线段构成的折线段来代替圆弧,则结果求得半圆周长为4r .,这些显然都是错误结论. 错误的根本原因在于“以直代曲”过
7、程中,并不是用等价无穷小去代替. 因此,在将直曲转化的辩证思想运用到具体问题中时,必须注意可转化的条件.,第二节 常量与变量,一、常量在一定条件下具有任意性,比如,数列极限定义中的 ,又如,不定积分中的积分常数C,二、常量与变量的相对性,高等数学被称为变量数学,这是相对于初等数学而言的.其实在高等数学中,常量与变量既有着严格的区分,又相互依存,相互渗透,在一定条件下相互转化.,返回,如,在函数概念中,常量与变量是对于某一过程而言的.,例如,某架飞机从甲地飞往乙地,在飞行过程中,我们说飞机离开甲地的距离; 飞机上汽油的储存量; 飞机离地面的高度等都是变量. 而飞机上乘客的人数; 飞机上行李的重量
8、等都是常量. 但是,飞机上行李的重量是否一定是常量呢?因为飞机离地面的高度在变化,飞机上行李的重量也在变化,只不过这个变化较之于飞机离开甲地的距离,飞机上汽油的储存量它变化很小,几乎没有变化,因此可以看作常量.,再如,在多元函数微积分中,为了研究某一个变量的性态,往往把其余变量看作常量.,返回,同样,二重积分 的计算,三、通过常量来刻划变量,高等数学中变量的运动与变化,往往是通过相对静止的常量来刻划的.,在解析几何中,根据二次曲线方程的系数,来判别二次曲线的类型. 设二次曲线方程为 A1x2 +2B1xy + Cy2 +2Dx +2Ey +F1 = 0, (*),返回,在直角坐标系中进行平移或
9、旋转变换,在新坐标系中曲线方程(*)化为 A2u2 +2B2uv +C2v2 +2D2u +2E2v + F2 = 0. (*),方程(*)化为方程(*)的变换过程中,方程各项的系数一般会发生变化,但有一些量是固定不变的.,I1 = A1 +C1 = A2 +C2;,I2 = = ;,I3 = =,返回,返回,在常微分方程中,常数变易法,是用常量来刻划变量的典型思想方法.,比如,求一阶线性方程 (*)的通解.,容易求得通解为,然后把齐次方程通解中的常数C看成变量,设非齐次方程的通解为,算出导数,首先求一阶线性齐次方程 的通解.,返回,代入原方程(*),可求得 C(x) = ,于是一阶线性方程(
10、*)的通解为 ).,四、通过变量来研究常量,在高等数学中,有时需要通过变量来研究常量. 也就是把常量看成变量的暂住状态或特定值,以及变量在变化过程中的稳定趋势.,如,利用导数求函数的极值和拐点,就是利用变量来研究常量的.,返回,又如,求参变量函数,在y = 时的函数值 .,是常量,当然我们希望将 代入含参积分中来计算,这 样就很容易求得,但这必须要证明函数在 处连续.,返回,为了讨论函数在定点x = 的连续性, 需要转化为讨论函数 在包含 的区间a, b上的连续性.,从而证明函数 在a, b上连续,进而得出函数 在点x = 处连续. 于是前面的计算是可行的,左边是一个完全确定的常量.,但为了研
11、究这个常量,在证明过程中,先用变量x代替常数b.,返回,从而把面积S变量化,得到一个关于x的函数,S(x) =,然后证明S(x)是f(x)在a, b上的一个原函数, 而F(x)也是f(x)的一个原函数,于是有,F(x) = S(x) + C = + C,再将a, b代入上式,确定出任意常数C的值,就得到,返回,第三节 连续与间断,一、连续与间断是事物两种不同的性态,在高等数学中,连续与间断带来函数性质的显著差异.,比如,闭区间a, b上的连续函数,一定存在最大值与最小值,并且可取得介于最小值与最大值之间的一切值. 只有函数f(x)在a, b上连续,且f(a)f(b)0, 才能保证方程f(x)
12、= 0在(a, b)内有一个根. 而间断函数一般不具有这些性质.,为了进一步研究不连续函数的性态,就需要对函数的间断点进行分类. 在高等数学范畴内,一般将间断点分为两类,第一类间断点和第二类间断点.,返回,返回,为了解决连续与间断这一差异性所引起的矛盾,在数学中创造了各种方法和途径, 它们不仅推动了数学的发展,而且进一步促进了对连续性与间断性本质的认识.,比如,对于可去间断点,采用了补充定义使其连续的方法.最典型的例子是洛必达法则的证明。,二、连续与间断在一定条件下可以相互转化,随着数学的发展,对函数连续与间断的认识也在深化,在一定条件下,实现了连续与间断的相互转化.,比如,利用定积分的定义来
13、求n项和数列的极限,就是用连续研究间断(离散)的典型方法.,例1 求极限,返回,例2 判定离散的数值级数 的敛散性,如果f(x) 是1, + 上的非负单调减少的连续函数,则可转化为判定无穷积分,的敛散性.,在数学中, 利用连续量去概括离散的量和用离散量去逼近连续量, 这往往是同一个问题的两个方面.,例3 毕卡公式:,一个凸多边形,面积为A, 内部格点数为N, 边上的格点数为L, 则,A = N +,返回,在数值计算中,正在发展一种连续变量离散化的方法,即为了计算连续量的值,而把连续量分拆为离散的量来计算. 离散化方法主要有两类:,第一类: 求出未知函数在若干点上的值,来近似地逼近此函数. 基本
14、方法是以有限差分代替无限小的微分, 以有限和代替无限和的积分,计算积分的梯形公式,辛卜生公式,以及求常微分方程的折线法,求偏微分方程的差分法等都属于这一类.,第二类: 把未知函数表为有限个已知函数的和. 这种方法一般是基于变分法的基础上. 这类方法由于计算机的运用, 进一步发展成为一类新的离散化方法, 即有限单元法.,连续与间断的转化还体现在日常生活中,比如电视机的画面是连续分布的,但电视机上的画面是由点阵组成的; 打印机打印的文字也是由点阵组成的,这都是用离散量来逼近连续量的具体体现.,返回,第四节 有限与无限,潜无限:把无限看成永远在延伸着的(即不断在创造着的永远完成不了的)变程或进程的观
15、点.,例如认为自然数列1,2,3,n, 是不断延伸的、永远完成不了的,就是潜无限的观点.,我国古代“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”也是一种朴素的潜无限思想.,实无限:把无限看成可以自我完成的过程(或无穷整体)的观点.,例如把自然数全体理解为一个真正的无限集合N = 1, 2,3, , n, , 就是实无限的观点.,返回,在数列极限的几何意义中,认为当nN时,从第N+1项起,以后的一切项a n都落在长度为2的邻域内,这也是实无限的观点. 可以说,把微积分建立在极限基础之上,就是运用实无限观点的成果.,一、有限与无限存在质的差异,从有限发展到无限,是认识上的一次重大飞跃. 有限与无限之间存在着质
16、的差异,这种差异在高等数学中,首先表现在式的运算方面.,返回,又如,有限个连续函数的积是连续的,但无限个连续函数的积却不一定连续; 有限个可微分函数的和可微,有限个可积函数的和可积,如果把“有限”改为“无限”,则结论都不成立.,在运算法则上,有限满足结合律、交换律与分配律,无限的情况则不能随意运用这些定律,否则将导致谬误的结论.,例如 11 + 11 + 11 + = (11) + (11) + (11) + = 0; 又有 11 + 11 + 11 + = 1(11)(1-1) = 1, 这显然是荒谬的.,对于区间或区域而言,函数在有限区间(或区域)的性质,不能不加限制地推广到无限区间(或区
17、域)上去.,比如,连续函数在任何有限闭区间上都可积,但不能断言该函数在无限区间上可积;,返回,函数f(x)在( )内的任何有限闭区间上一致连续, 但 f(x)在( )内可能不一致连续; 函数级数 在有 限区间上收敛,但在无限区间上可能不收敛.,在数量关系上,一个有限集合与它的真子集之间不能建立一一对应关系,但一个无限集合就可以和它的真子集建立一一对应的关系.,比如,N为自然数集, G为正偶数集,则N与G可以一一对应.,一个无限区间可以和一个有限区间建立起一一对应关系.,如无限区间( )与有限区间 可以通过函数关 系y = arctgx 建立一一对应.,返回,同样,如图ABD与ACD面积不等,但
18、它们中的与AD平行的线段等长, 且“条数”是一样多.,返回,二、通过有限认识无限,在高等数学中,为了达到认识不确定的、无限的情形,常常是从确定的、有限的情形出发的.,在数列极限概念中,无穷数列a n是不能全部写出来的,为了考察其无限变化的趋势,我们研究有限的a n与有限的a之间的距离a na,如果距离能任意小,我们就可以间接地知道a n无限变化的结果就是a. 因此极限是利用有限来认识无限的一种数学方法,同时也说明极限是有限与无限的对立统一.,数学归纳法的实质,是人们用有限认识无限的一种方法.,凡涉及对任意自然数n都成立的命题P(1),P(2), P(3), P(n), 这是无限的命题列,要一个
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 学习 高等数学 思想 障碍 请看
链接地址:https://www.31doc.com/p-2162825.html