组合数学课件--第二章第三节关于线性常系数非齐次递推关系.ppt
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1、1,第2章 递推关系与母函数,2.1 递推关系 2.2 母函数(生成函数) 2.3 Fibonacci数列 2.4 优选法与Fibonacci序列的应用 2.5 母函数的性质 2.6 线性常系数齐次递推关系 2.7 关于常系数非齐次递推关系 2.8 整数的拆分 2.9 ferrers图像 2.10 拆分数估计 2.11 指数型母函数 2.12 广义二项式定理 2.13 应用举例 2.14 非线性递推关系举例 2.15 递推关系解法的补充,2,2.7 关于线性常系数非齐次递推关系,如下面的递推关系:,称为k阶线性递推关系,其中若c1,c2,ck都是常数,则称为常系数线性递推关系,若bn=0,则称
2、为是齐次的,否则为非齐次的。,3,2.10任意阶齐次递推关系,设r1,r2,rs是线性常系数齐次递推关系,的不同的特征根,并设hi是ri的重根数,i=1,2,3,s。则,Fibonacci递归算法:,int fibonacci(int n) if (n=1|n=2) return(1); else return(fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); ,2.1 递推关系,时间复杂性:f(n)=f(n-1)+f(n-2)+1,5,2.7 关于线性常系数非齐次递推关系,如果序列xn和yn满足非齐次递推关系,,对应的齐次递推关系。,则序列zn=xn-yn满足其对应的齐次递推关系
3、。,证明:略,6,2.7 关于线性常系数非齐次递推关系,特解与一般解:,例2:某人有n元钱,一次可买1元的矿泉水,也可以买2元的(啤酒、方便面)的一种,直到所有的钱花完为止(买东西的顺序不同,也算不同方案),求n元钱正好花完的买法方案数。,解:递推关系:an=an-1+2an-2 a1=1,a2=3,特征方程x2-x-2=0的根r1=-1,r2=2,7,定理1 若fn 是线性常系数非齐次递推关系的特解,则这个线性常系数非齐次递推关系的解有如下形式: an=fn+对应的线性常系数齐次递推关系的解。,证明:fn是特解,设sn 是一个解,令tn=sn-fn,2.7 关于线性常系数非齐次递推关系,则序
4、列ti是线性常系数齐次递推关系的解,sn=tn+fn 证毕,8,2.7 关于线性常系数非齐次递推关系,一阶、二阶线性常系数非齐次递推关系,(1)右端项为常数h,an+ban-1=c(n),(2)右端项为hmn,h为常数,m为已知整数。,an+ban-1+can-2=c(n),9,下面讨论若干特殊右端项的找特解的办法。,(1) 猜解法:,猜an解的可能情况?,2.7 关于线性常系数非齐次递推关系,an+ban-1= hmn,h为常数,m为已知整数。,10,下面讨论若干特殊右端项的找特解的办法。,(1) 猜解法:,设an=kmn,2.7 关于线性常系数非齐次递推关系,an+ban-1= hmn,h
5、为常数,m为已知整数。,kmn+bkmn-1= hmn,km+bk= hm,m等于-b时无效,m是特征方程的根时无效,11,设an=kmn,2.7 关于线性常系数非齐次递推关系,an+ban-1+can-2 =hmn,h为常数,m为已知整数。,kmn+bkmn-1+ckmn-2= hmn,km2+bkm+ck= hm2,分母为零时无效,m是特征方程的根时无效,12,例1,假定特解为:,两边同除以4n-2:,2.7 关于线性常系数非齐次递推关系,13,特征方程,2.7 关于线性常系数非齐次递推关系,14,例2,假定特解为:c3n ,代入递推关系。,无解!对于这种情况怎么处理?,2.7 关于线性常
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- 组合 数学 课件 第二 三节 关于 线性 系数 非齐次递推 关系
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