线性代数线性相关性判定定理.ppt
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1、,3.3 线性相关性判定定理,定理1 向量组 (当 时)线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示,证明,充分性,设 中有一个向量(比如 )能由其余向量线性表示.,即有,故,因 这 个数不全为0,,故 线性相关.,必要性,设 线性相关,,则有不全为0的数 使,因 中至少有一个不为0,,不妨设 则有,即 能由其余向量线性表示.,向量组 (当 时)线性无关 的充分必要条件是 中任何一个向 量都不能由其余 个向量线性表示,定理1的逆否命题,(A) 中有一零向量,(B) 中任意两个向量的分量成比例,(C) 中有一向量是其余向量的线性组合,(D) 中任意一个向量是其余向量的线
2、性组合,例2 若向量组 线性相关,则 是其余向量的线性组合,这种说法对吗?,不对,例如,但 不能写成其余向量的线性组合,所以线性相关,由于,由定理1知 线性相关,证,设,线性无关,而向量组线性相关,,k,(否则与线性无关矛盾),可由线性表示.,即有,下证唯一性:,两式相减有,线性无关,,即表达式唯一.,设,定理2的逆否命题,设向量组A: 线性无关,而向量不能由向量组A线性表示,则向量组B: 线性无关。,(A)如果存在不全为零的数 使,则 线性无关,(B)若向量组 线性相关,,则 可由其余向量线性表示,(C)向量组 线性无关的充要条件是,不能由其余m1个向量线性表示。,(D)若 不线性相关,则一
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- 线性代数 线性 相关性 判定 定理
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