MATLAB第3章第3节.ppt
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1、3.3 数值积分,3.3.1 卫星轨道长度问题 3.3.2 公式的导出 3.3.3 误差估计和收敛性 3.3.4 用Matlab作数值积分 3.3.5 实验,3.3.1 卫星轨道长度问题,问题: 人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆。我国第一颗人造地球卫星近地点距地球表面439km ,远地点距地球表面2384km,地球半径为 6371km。 求: 该卫星的轨道长度。,3.3.1 卫星轨道长度问题,模型 a,b分别是长半轴和短半轴; 焦距为c, 地球半径为 r , 近地点和远地点与地球表面的距离分别是 和 。,图3.4 卫星轨道的示意图,3.3.1 卫星轨道长度问题,椭圆的参数方程为 弧长的公式
2、椭圆长度,椭圆积分,无法用解析方法计算, 讨论用数值方法来计算。,3.3.2 公式的导出,给定函数f(x),关于积分,有Newton-Leibniz 公式 但是,在下列情况下, 函数在离散点处给出; 被积函数的原函数无法用初等函数表示; 被积函数的原函数虽有初等函数表达式,但过于复杂;,就必须借助数值方法来求函数的积分,3.3.2 公式的导出,用数值方法近似地求一个函数 在区间(a,b)上的 定积分的基本思路,可以归结到定积分的定义,(3-4),3.3.2 公式的导出,取等距步长,当n充分大时, 就是 的数值积 分, 是第k小区间中x的取值,显然, 取值不同 ,数值积分 的结果就不同。 这种做
3、法相当于用相对简单的阶梯函数 (k=1,n) 代替 作积分。 实际上各种不同的数值积分方法就在于,研究用什么样的简单函数代替 ,使得既能保证结果有一定的精度,计算量又小。,3.3.2 公式的导出,牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式 设 为给定的求积结点,将其作为插值结点,作 的拉格朗日插值多项式,然后 ,利用拉格朗日插值多项式替代 作积分,选取不同的多项式,就得到不同的求积公式。 设 ,将 区间n等分,记 , 以这 个等距结点为求积结 点的插值型求积公式,通常被称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式,3.3.2 公式的导出,常用的Newton-Cotes公式: n=0 分别
4、用 f (a),f (b) 和 近似 f (x) 可得 几何解释:用以点 (左矩形公式)为顶点的矩形面积近似所要求的积分(矩形的面积),右矩形公式,左矩形公式,中矩形公式,3.3.2 公式的导出,n=1 此时, , 若用 f (a) 和 f (b) 的算术平均值近似 f (),则可得 几何解释:用以点 为顶点的梯形面积近似所要求的积分(曲边梯形的面积),梯形公式,图3.5 矩形公式、梯形公式的几何意义,3.3.2 公式的导出,3.3.2 公式的导出,n=2 此时, 求积公式为,通常称此公式为辛普森(Simpson)公式,也称 为抛物线公式。,3.3.2 公式的导出,图3.6 辛普森公式的几何意
5、义,3.3.2 公式的导出,复化的牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式 为构造高精度的数值积分公式,可以采用分段低次多项式替代整体高次多项式,这就导出了复化的牛顿-柯特斯公式,其基本思想是:先把积分区间分成一些长度较小的子区间,在每个子区间上使用低阶的牛顿-柯特斯公式,最常用的是下面的复化梯形公式和复化辛普森公式。 设在 (a, b)上 ,定积分表示曲线下的面积,我们先从图形上看看如何近似计算这块面积。,3.3.2 公式的导出,图3.7 定积分的复化矩形公式和复化梯形式,3.3.2 公式的导出,将(a ,b)区间n等分, 成为积分步长。 记 在每个小区间上 用矩形面积近似 下面曲边梯形
6、的面积, 在整个区间(a ,b)内构成台阶形。,3.3.2 公式的导出,容易看出,两个台阶形面积分别为 在图3.7中,两个台阶形分别小于和大于所求面积故 3-5、 3-6就是计算定积分的复化矩形公式。,(3-5),(3-6),或将两者平均,则每个小区间上的小矩形 变为 小梯形,整个区间上的结果为,视 为结点,3-7式相当于用分段线性插值函数作为 的近似,称为复化梯形求积公式。,(3-7),3.3.2 公式的导出,3.3.2 公式的导出,用分段二次插值函数代替,记n=2m,k=0,1,m-1 在第k段的两个小区间上,用三个结点 作二次插值函数 ,然后积分,求m段之和可得 整个区间上的近似积分 (
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