北京工业大学电路5-6课件.ppt
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1、定积分有着广泛的用途, 先介绍建立定积分的一种简便方法- 元素法(微元法) 下面介绍它在几何, 物理和经济等问题上的简单应用. 什么量可以用定积分表示出来? 6.1 定积分在几何上的应用 (1) U是与一个变量x 的变化区间a, b有关的量; 则可以考虑用定积分来表达这个量U. (2) U对于区间a, b具有可加性. 就是说, 如果把区间a, b分成许多部分区间, (3) 部分量 的近似值可表示为 当所求量U 符合下列条件: 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部 分量之和. 元素法的一般步骤: 这个方法通常称为元素法(微元法). (1) 根据问题的具体情况, 选取一个变量例如 x (
2、2) 任取一小区间并记为 求出相应于这小区间的部分量 的近似值dU, 并将其表示为 (3) 以所求量U 的元素 为被积表达式, 在区间a, b上作定积分, 得 即为所求量U 的积分表达式. 为积分变量, 并确定它的变化区间a, b; 这个小区间上所 对应的小曲边梯形面积 面积元素 得 曲边梯形面积的积分式也可以用元素法 建立如下. 地等于长为f(x)、宽为dx 的 小矩形面积,故有 近似 求这两条曲线 及直线所围成的区域的面积 A. 它对应的面积元素dA为 即 1. 直角坐标系下平面图形的面积 6.1.1 平面图形的面积 在a, b上任取一区间 求由曲线 和直线 所围成的区域的面积 A. 的面
3、积元素dA为 它对应小区间 解两曲线的交点 选 x 为积分变量 例 计算由两条抛物线 和所围成 的图形的面积. 面积元素 例 解 画草图,求两曲线交点的坐标以便 解方程组: 交点 面积元素 选 为积分变量, 确定积分限, 解 两曲线的交点 选 y 为积分变量 例 计算由曲线 和直线 的图形的面积. 所围成 所求面积 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 2. 参数方程情形下求平面图形的面积 在 (或 )上 与终点的参数值. 设 和 对应曲线起点 具有连续导数, 连续. 解1 曲线的参数方程为 由对称性, 总面积等于4倍第一象限部分面积. 作变量代换, 例 求椭圆 的面积. 解2 其中
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