力学竞赛专题能量法静不定.ppt
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1、专题一 能量方法初步 本章重点: 1、卡氏第二定理 2、莫尔定理 第一节 杆件应变能的计算 第二节 功的互等定理和位移互等定理 第三节 卡氏第二定理 第四节 莫尔定理 能量法: 用功、能的概念求解弹性体的变形和力的方法。 第一节 杆件应变能的计算 一、轴向拉伸(压缩)时应变能计算 在小变形前提下,杆件处于线弹性阶段。略去杆件的动能不计,外力的 功W 全部转化为杆件的应变能V,即: FF 力: 变形: 轴力为变量,应变能 杆件应变能密度: 扭转时外力作功 二、圆轴扭转时应变能计算 扭矩为变量,应变能 1.纯弯曲时,弯矩等于外力偶 三、直梁弯曲时应变能计算 M M l 2.横力弯曲时,弯矩为变量,
2、应变能 一般,令F为广义力,为广义变形,当F由零开始缓慢 增加至最终值时,外力功转变为杆件的应变能,即 。 若材料处于线弹性范围, 四、应变能普遍表达式 杆件复杂变形时,取dx微段,若其上同时有FN (x) 、 Mx (x)、 M(x)作用, 杆件的应变能: 例9-1 集中力F作用于简简支梁的C点,试试用能量原理计计算截面C 的挠挠度wc。设设EI为为常数。 解:由平衡方程解得 将梁分为为AC和CB两段, CB段 AC段 梁的应变能为 (方向向下) 由式可解得 桁架 注意:用卡氏定理求结构某处的位移时,该处需要有与所求位移相应的载荷。 如果该处没有与此位移相应的载荷,可先在该点虚设一个广义力F
3、,运用卡 氏定理求广义位移,最后让该力F=0。 可得: 横力弯曲 第二节 卡氏第二定理 式中,i为Fi作用处沿Fi 方向的位移量。 例9-3 试计算图示结构在荷载 F1 作用下C点的竖向位移, 结构中两杆的长度均为 l ,横截面面积均为A。 解:由结点C的平衡方程,可得两杆的轴力为 F F1 1 F F BCBC F F CDCD 例9-4外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载FP,求(1)C端挠度, (2) C端转角。 解:(1)求C端挠度 FA FB AB段 BC段 支座反力分别为 F FA A F FB B MM (2 2)求)求 C C端转角端转角: : ABAB段段 令令M M = 0=
4、 0 BCBC段段 在在 C C端加力偶端加力偶MM ( ) 推广:为广义位移,FO为沿方向的单位力。 1. 弯扭组组合变变形杆件 2. 桁架 3. 若要求两点之间间的相对对位移,沿两点的连线连线 方向加一对对方向相反的单单位力。 莫尔定理 第四节 莫尔定理 例9-5 外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载FP,求C端转角。 FA FB Mo AB段 BC段 在 C端加单位力偶Mo=1 (顺时针) FAo FBo AB段BC段 解: EI已知,试试求:1)加力点A的位移A;2)梁中点B的位移B。 例9-4 线弹线弹 性材料悬悬臂梁,自由端A作用有集中力。若F、l、 解:(1)求点A的位移。 (2)
5、求梁中点B的位移 在B点附加力FO,BC段 例9-5 图示线弹性结构,杆中各部分的EI均相同。若F、EI均为已知, 试试用莫尔定理求A、B两点间间的相对对位移。 解: 在A、B两点施加一对单对单 位力 略去轴力、剪力的影响: M1 =0 , (0xR) (Rx2R) (0/2) AC段: CE段:M2 =-F(x-R) , EG段: M3 =-FR(1+sin) , 相对对位移的方向与单单位力的方向相同。 专题二 简单静不定问题 第一节 静不定结构的基本概念 第二节 拉压静不定问题 第三节 扭转静不定问题 第四节 静不定梁 第五节 用力法解静不定结构 第六节 综合举例 本章重点 1.拉压静不定
6、问题 2.扭转静不定问题 3. 静不定梁 第一节 静不定结构的基本概念 一、 静定、静不定结构 1. 静定结构 结构的全部约束反力和内力都可由静力平衡方程求得。 2. 静不定结构 结结构的约约束反力与内力数多于静力平衡方程数。 3. 静不定次数 未知力数减去静力平衡方程数。 4.多余约束 超过静定结构所需的约束。 判别下列结构是否静定。指出静不定结构的静不定次数。 静不定结构:结构的强度和刚度均得到提高 二 基本静定系(静定基),相当系统 基本静定系:解除静不定结构的多余约束后得到的静定结构。 相当系统:在静定基上加上外载载荷以及多余约约束力的系统统。 MC MC MB F F MA 第二节
7、拉压静不定问题 静不定结构的求解方法: 1、列出独立的平衡方程 2、找变形几何关系 3、物理关系 4、求解方程组 建立补充方程 一、求解拉压静不定问题的约束反力 1、列出独立的平衡方程 补充方程 例题10-1 3、物理关系 4、求解方组得 解: 2、找变形几何关系 例题10-2 2.找变变形几何关系: 3.物理关系: 解: 1.写平衡方程: 补补充方程: W=12MPa,EW=10GPa,求许许可载载荷F。 250 250 木制短柱的4个角用4个40mm40mm4mm的等边边角钢钢加固, 已知角钢钢的许许用应应力st=160MPa,Est=200GPa;木材的许许用应应力 代入数据,求得 查查
8、表知,40mm40mm4mm等边边角钢钢 4.根据角钢的强度条件确定F 5.根据木柱强度条件确定F 许许可载载荷 250 250 二装配应力 静不定结构中,因杆件尺寸有微小误差,装配后在杆件内产生的应力 称为装配应力。 例10-3 图图示钢钢杆,弹弹性模量E=200GPa,加工误误差和杆长长之比 解: ,将杆装在两刚刚性支座之间间,试试求装配应应力。 三温度应力 静不定结构中,由于温度改变而在杆件内产生 的应力称为温度应力。 例10-5 图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆材料为钢,2杆材料为铜, 两杆的横截面面积分别为A1=1000mm2,A2=2000mm2。钢杆的弹性模量为 E1=21
9、0GPa,线膨胀系数1=12.510-6 -1;铜杆的弹性模量为E2=100GPa, 线膨胀系数2=16.510-6 -1;试求温度升高20时, 1、2杆内的应力。 解:1.列静力平衡方程 2.变形协调方程 3.物理方程 解得 第三节 扭转静不定问题 例10-6 在圆轴圆轴 作用有外力偶矩Me,试绘试绘 出该轴该轴 的的扭矩图图。 解:1.列静力平衡方程 2.变形协调方程 3.代入物理方程,建立补充方程 MA Me- MA MB + - 解得: Me /3 Me2 /3 Me /3 例10-7 一空心圆管A套在实心圆杆B的一端,两杆在同一横截面处各有一 直径相同的贯贯穿孔,但两孔的中心线线相差
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- 力学 竞赛 专题 能量 不定
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