曲线和方程--习题十.doc
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1、1.求点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1的点的轨迹方程.分析:利用直接法列出方程.解:设P(x,y)为所求轨迹上任意一点,点P到F的距离比它到直线x+5=0的距离小1.故点P到F(4,0)的距离与点P到直线x+4=0的距离PD相等.PF=PD=x-(-4)y2=16x.2.过点P(2,4)作互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A,l2交y轴于B,求线段AB中点M的轨迹方程.分析一:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点,利用l1l2,由k1k2=-1求解.解法一:设M(x,y)为所求轨迹上任一点,M为AB中点,A(2x,0),B(0,2y),l1l2且l1,l2过点P(2
2、,4),PAPBkPAkPB=-1kPA=(x1)kPB= =-1即:x+2y-5=0(x1)当x=1时,A(2,0)、B(0,4),此时AB中点M的坐标为(1,2),它也满足方程x+2y-5=0.所求点M的轨迹方程为x+2y-5=0.分析二:连结PM,由l1l2,APB为直角三角形,PM=AB解法二:连结PM.设M(x,y),则A(2x,0),B(0,2y)l1l2,PAB为直角三角形PM=AB即化简:x+2y-5=0所求点M的轨迹方程为x+2y-5=0.3.已知定点A(4,0)和圆x2+y2=4上的动点B,点P分AB之比为21,求点P的轨迹方程.分析:设点P(x,y),B(x0,y0)由=
3、2,找出x、y与x0、y0的关系.利用已知曲线方程消去x0、y0,得到x、y的关系.解:设动点P(x,y)及圆上点B(x0,y0)=2,代入圆的方程x2+y2=4得即:(x-)2+y2=所求轨迹方程为:(x-)2+y2=.4.过不在坐标轴上的定点M(a,b)任作一直线,分别交x轴、y轴于A、B,求线段AB中点P的轨迹方程.分析:利用平面几何性质求解.解法一:设线段AB的中点为P(x,y)作MCy轴,PDy轴,垂足分别为C、D,则:CM=a,OC=b,DP=x,OD=DB=yMCPDMBCPBD即(x0,y0)故所求轨迹方程为:2xy-bx-ay=0.分析二:利用B、M、A三点共线得kMA=kMB求解.解法二:设点A(m,0),B(0,n)则线段AB的中点P(x,y)的坐标满足m=2x,n=2y.B、M、A共线kMA=kMB 得an-mn+mb=0.由m=2x,n=2y得ay-2xy+bx=0.分析三:因AB直线过点M(a,b),设其方程为:y-b=k(x-a).将斜率k作参数求解.解法三:设线段AB的中点为P(x,y),过点M(a,b)的直线方程为:y-b=k(x-a),(k0)则A(a-,0),B(0,b-ak)中点P的坐标为:消去k得所求方程为:2xy-bx-ay=0.
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