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1、概率论与数理统计 第1章 随机事件与概率 本章主要内容: 概率的概念与性质 事件的关系与运算性质 古典概型概率的计算 加法公式、条件概率、乘法公式 事件的独立性、伯努利概型 重点:古典概型、概率的计算 难点:事件的关系和运算 条件概率、伯努利概型 教学资源: 1 中央电大在线平台上有分章节的文字辅导材 料和6讲IP课件,学员需注册才能进入。 2 安徽电大网站上的教学服务栏目中有文字 辅导材料。 注意:安徽电大影音在线中的VOD教学课件中教学 栏目内的课件是本科的教学内容,不可看。 3 . 金融专业的经济数学基础中的第六、七 章的内容与本书相近,不具备上宽带网条件的学员, 可到我校服务中心借这一
2、部分内容的光盘进行自主学 习。 1.1 随机事件 1.1.1 随机现象与随机事件 事件有多种不同的结果,在同样的条件下进行一 系列重复试验,每次出现的结果都不能预先确定的事 件称为随机事件。 随机现象在每次试验中的结果虽然是不确定的, 但在大量重复试验下,各种不同结果出现的可能性的 大小是具有规律性的。 例如,统计大量的新生儿的性别,男、女约各占 50,多次抛一枚均匀的硬币,正、反面出现的次数 约各占50。 为研究随机现象的统计规律性而进行的试验称为 随机试验。用字母来表示。 随机试验具有下面三个特点: 1.在相同条件下可以重复进行; 2.试验前不能确定出现哪种结果; 3. 能够知道可能出现的
3、所有结果。 在随机试验中出现的每一个结果,称为随机试验 的基本事件。全体基本事件组成的集合称为样本 空间。例如,上面举过的例子中, 和 样本空间的子集称为随机事件。因此,随机事 件是指随机试验出现的一种结果或几种结果的总 和。用A、B、C等表示。 样本空间表示必然事件,空集表示不可能事 件。 1.1.2 事件的关系和运算 1。事件的包含和相等 如果事件A发生必然导致事件B发生,那么称事 件A包含于事件B,或称事件B包含事件A,记作 例如,掷一枚骰子, 如果 ,同时 ,则称AB 2。事件的和 事件A发生或事件B发生,称为事件A与事件B的 和,记作AB。 事件A发生或事件B发生,换句话说,就是事件
4、 A和事件B至少有一件发生。 例如:分析下列事件的关系 随机抽查一批产品的质量,记 A抽到三个不合格产品 B抽到两个以上不合格产品 抛两枚硬币,记 C不出现反面朝上 D两个都是正面朝上 解: 事件A发生则事件B一定发生了,所以 抛两枚硬币,不出现反面朝上,即出现两个正 面,显然CD。 以直径和长度两项指标衡量产品的质量,设 A零件直径不合格,B零件长度不合格, E零件不合格, 试用事件A、B表示E。 解:事件E发生,表示或者事件A发生或者事件B发 生或者事件A、B同时发生,即事件A、B至少有一 件发生。故 EAB 再例如,从一批产品中任意取出2件,A1恰好有1 件是次品,A2恰好有2件是次品,
5、B至少有1 件是次品。 至少有1件是次品的意思是说,恰好有1件是次 品,或者2件都是次品。因此 BA1 A2 3。事件的积 事件A和事件B同时发生,称为事件A与事件B的 积,记作AB 例如,还是测量零件,设C零件的直径合格, D零件的长度合格,F零件合格。 试用事件C、D表示F 解:只有零件的直径和长度都合格,零件才算合格 ,事件F发生时,事件C、D都要发生。也就是说, 事件C、D同时发生,才表示事件F发生。所以FCD 。 4。事件的差 事件A发生而事件B不发生,称为事件A与事件B 的差,记作AB。 。互不相容事件 如果事件A与事件B不可能同时发生,则称事件 A与事件B互不相容或互斥。显然:A
6、B 。对立事件与完备事件组 对立事件是一种特殊的互不相容事件。如果事 件A与事件B不能同时发生,而事件A与事件B又必发 生其一。则称事件A和事件B是对立事件,即事件A 是事件B的反面,称为B非,记作 事件A与事件B互为对立事件是说 它们满足AB,AB。 显然, 现在让我们来重新认识事件的差。 事件的差 ,而 可见,事件AB和事件BA是不同的。 如果有n个事件 两两互不相容,而他 们的和是必然事件,则称事件 构成一个完 备事件组。 1.1.3 事件间的关系和运算性质 事件与集合通常用相同的表示方法表示。 事件间的关系与集合间的关系具有很大程度上的相 似,具体内容见下表。 表1 事件的运算律 讲解
7、例题 对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹, 设A1第一枚击中飞机,A2第二枚击中飞机 试用A1,A2及它们的对立事件表示以下事件: B两弹都击中飞机,C两弹都没有击中飞机 ,D恰有一弹击中飞机,E至少有一弹击中 飞机 解: BA1A2, ,D ,EA1A2 其中B与C,B与D,C与D,C与E都是互不相容事件, C与E是对立事件。 1.2 随机事件的概率 1.2.1 概率的统计意义 随机事件在随机试验中发生的可能性大小的数值 称为概率。 在条件不变的情况下重复进行n次试验,事件A发 生了m次,那么m称为A事件发生的频数,比值 称为 事件A发生的频率,用fn(A)表示。 如果当n足够大时,事件A
8、的频率fn(A)在一个常数 p(0p1)附近摆动,则称事件A为随机事件,p为事 件A在该条件下发生的概率,记作P(A)p 必然事件 P(A)1 不可能事件 P(A)0 概率具有如下性质。 性质1 对于任一事件A, 这是因为,任一事件A的频数m0,mn。 性质2 性质3 对于有限个两两互不相容的事件 即 推论 如果 则 1.2.2 古典概型 古典概型是指等可能事件的概率模型。 如果一次试验有n种可能的结果,且这n种结果 出现的可能性都相同,而事件A包含了这n种可能中 的k种可能,则事件A发生的概率为P(A)kn,这 种概率称为古典概率。 例1 掷一枚骰子,求C4,5,6和D4,6的概率 。 解:
9、掷一枚骰子出现的点数有6种可能,这6种点数 的可能性是相同的,属于古典概型。 其中C占了3种可能出现的情况,D占了2种可能出现 的情况,故P(C)36,P(D)26。 例2:在10000张奖券中设特等奖1名,一等奖2名, 二等奖10名,三等奖100名,求购买1张奖券中奖的 概率。 解:n10000,k1210100113 P(A)kn113100000.0113 在古典概率的计算中,经常要用到排列和组合 数的计算方法。 求古典概率的一般方法 求出随机试验一共有多少种不同的结果n, 如考虑顺序用排列数求,不考虑顺序用组合数求。 求出事件发生包含了多少种不同的结果k, 则 P(A)kn 例3:设5
10、个产品中有个2一级品,3个二级品,从中任 取2个产品,求 全是一级品的概率, 一个一级品,另一个是二级品的概率。 解:从5个产品中任取2个产品的取法共有C2510种 全是一级品的取法有C221种,P11/100.1 一个一级品,另一个是二级品的取法有C12C13 6,P26100.6 例4 从装有4个白球、3个黑球的袋中任取3个球, 求至少有2个白球的概率。 解:设A1恰好有2个白球,A23个都是白球, 则A1A2。A至少有2个白球,AA1A2 从袋中取球的总取法为 , 满足A1的取法为 , 满足A2的取法为 , 则 希望通过这道题,能对排列组合的计算加深理解。 推论2 当 时,有P(BA)P
11、(B)P(A) 注意,一般情况下 P(BA)P(B)P(A), 应为P(BA)P(B)P(A), 例如,从19这9个数字中任取一个数,求这个数能 被2整除但不能被3整除的概率。 解:记A能被3整除,B能被2整除, 则BA能被2整除但不能被3整除, A=3,6,9,B=2,4,6,8,B-A=2,4,8, P(A)3/9,P(B)4/9,P(BA)3/94/93/9 A B-A B B-AA B A 1.3 随机事件概率的计算 1.3.1 加法公式 狭义加法公式 两个互不相容事件A,B之和的概 率等于这两个事件概率之和。 P(AB)P(A)P(B) 例1 掷一枚骰子,求出现1点或6点的概率。 解
12、:设A=出现1点,B=出现6点,AB显然互不相容 出现1点或6点的事件就是AB P(AB)P(A)P(B) 推论1 设A为随机事件,则 如果直接计算A的概率有困难,可以通过 来计算。 例2. 某射手连续射击2枪,已知至少一枪中靶的概 率为0.8,第一枪不中靶的概率为0.3,第二枪不中 靶的概率为0.4, 求 两枪均不中靶的概率, 第一枪中靶而第二枪不中靶的概率。 解:设A1第一枪中靶,A2第二枪中靶, 则P(A1A2)0.8, 10.80.2 第二枪不中靶包括第一枪中靶而第二枪不中 靶和两枪均不中靶两种情况,而且它们是不相容的 2003年1月试题填空题3 若 P(A)=0.8,P( )=0.5
13、,则P(AB) 广义加法公式 对于任意两个事件A,B,有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 例3 甲设备故障率为0.82,乙设备故障率为0.74, 两设备同时出故障的概率为0.63,求至少有一个设备 出故障的概率。 解:设A=甲设备出故障,B=乙设备出故障,AB 两设备都出故障,AB至少有一设备出故障 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 0.820.740.630.93 1.3.2 条件概率和乘法公式 条件概率在指在某事件B发生的条件下,事件A发 生的概率。 例如, 袋中有球如右表: 从中取出一个球, 如果已知取出的是白球,求它是玻璃球的概率。 解:设B=取出白球,A=取出玻璃球 由于白
14、球中有1个木球,3个玻璃球,因此取出玻璃球 的概率为3/4,而不是7/10或3/10。这就是条件概率 。 条件概率表示为P(A|B) 例如上例: 乘法公式 设P(A)0,P(B)0,则事件A,B之积的概率等 于其中一事件的概率乘以在此事件发生的条件下另一 事件发生的条件概率。 P(AB)P(A|B)P(B) 或 P(AB)P(B|A)P(A) 例8 盒中有10只晶体管,其中6只正品,4只次品, 从中不放回地任取两次,求两次都取到正品的概率。 解:设A=第一次取到正品,B=第二次取到正品, AB两次都取到正品,第一次取到正品后盒中只有 9只晶体管,其中5只正品,4只次品。 P(B|A) ,P(A
15、B)P(B|A)P(A) 现在我们来看一个日常生活中常遇到的问题。 10个人抽签取一张奖券,第一个人抽签时有10张 签,抽中的概率是 ,第二个人抽签时只有9张签了 , 他抽中的概率是不是 ,比第一人的机会大呢? 答案当然是不比第一人抽中的机会大。因为他是在第 一人未抽中的条件下抽中的概率才为 ,而第一人未 抽中的概率为 ,因此,他抽中的概率为: 其中,B=第一人未抽中,A=第二人抽中 同样,第三人抽中的概率为: 可见,先抽后抽机会均等。 1.3.3 全概率公式 全概率公式 若 构成一个完备事件组 ,且 ,则对任意事件A,有 当 已知或容易计算时可用此式求P(A) 。 例10 袋中有10个球,其
16、中只有2个红球,不放回地 取出2个球,求第二次取到红球的概率。 解:设 A=第二次取红球, B=第一次取红球, =第一次没取到红球 , 例12 某厂有4条流水线,产量分别占总产量的15%, 20%,30%,35%,次品率分别为0.05,0.04,0.03,0.02, 从出厂产品中随意抽取1件,求取到次品的概率。 解:设 A=取到次品,Ak=取到第k条流水线的产品 P(A1)=15,P(A2)=20,P(A3)=30,P(A4)=35, P(A|A1)=0.05,P(A|A2)=0.04,P(A|A3)=0.03, P(A|A4)=0.02,于是 1.4 伯努利概型 1.4.1 事件的独立性 如
17、果两个事件的发生与否相互之间不产生影响, 则称这两个事件相互独立。 例如,袋中有5个白球、3个红球,从中取2个球 ,如果第一次取球后不放回,第二次取球时,各种颜 色的球数发生了变化,两次取球之间就有影响(概率 发生了变化)。如果第一次取球后放回,两次取球之 间就没有影响了,是相互独立的。 如果事件A与B相互独立,则: P(AB)P(A)P(B),反之亦然。 一般地说,有放回地取物都是相互独立的。 例2 一个骰子掷两次,两次都出现1点的概率是多少 解:设A1=第1次出现1点,A2=第2次出现1点 A1,A2是相互独立的。设A=两次都出现1点,AA1A2 P(A)P(AB)P(A)P(B) 例3
18、甲乙二人考大学,甲考上的概率为0.7,乙考上 的概率为0.8,两人都考上的概率是多少?至少有一 人考上的概率是多少? 解:设A=甲考上,B=乙考上,C=两人都考上, D=至少一人考上。则CAB,DAB,AB相互独立 P(C)P(AB)P(A)P(B)0.70.80.56 P(D)P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.94 2003年1月试题计算题4 机械零件的加工有甲、乙两道工序完成,甲工序 的次品率是0.01,乙工序的次品率是0.02,两道工序 的生产彼此无关,求生产的产品是合格品的概率。 解:设A1=甲工序是合格品,A2=乙工序是合格品 则A1与A2相互独立,设A=产品是合格品, A=A
19、1A2 由题设知 ,则P(A)10.010.99 ,则P(B)10.020.98 A1与A2相互独立 P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2)0.990.98 0.9702 答:生产的产品是合格品的概率为0.9702。 定理 如果A与B是相互独立的,则 也都是相互独立的。 证明: 是互斥的。 所以, 也是相互独立的。类似可证其它。 事件相互独立还可以推广到多个事件。但要注 意: 判断事件A、B、C相互独立,不仅要满足 P(ABC)P(A)P(B)P(C),还要满足P(AB)P(A)P(B) , P(AC)P(A)P(C),P(BC)P(B)P(C)。 1.4. 伯努利概型 在相同条件下独立重复n次试验的试验模型称为 伯努利概型。 在伯努利概型中,如果事件A的概率为p,那么在 n次重复试验中,事件A发生k次的概率为: P(事件A发生k次) 例如,某射手击中目标的概率为0.6,如果射击5次, 求恰好击中3次的概率和至少击中2次的概率。 解: P(击中3次) P(至少击中2次)1-P(击中0次)-P(击中1次) 作业: P.12 3,4 P.24 6 P.37 3,4,7,9 P.44 4,6 P.65 选择题,2,3不作 填空题,3不作
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