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1、四川省德阳中学高2011级复习 第一章集合的概念及其运算第1讲 集合的概念及运算1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能选择自然语言,图形语言,集合语言描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用。2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;了解全集与空集的含义。3.理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集;理解在给定集合中一个子集补集的含义,会求给定子集的补集;能使用文氏图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。4.集合问题常与函数,方程,不等式有关,其中字母系数的函数,方程,不等式要复杂一些,综合性较强,往往渗透数形思想和分类讨论思想。(
2、1) 集合的含义:(2)体会元素与集合的属于关系;能选择自然语言,图形语言,集合语言描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用。2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;了解全集与空集的含义。3.理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集;理解在给定集合中一个子集补集的含义,会求给定子集的补集;能使用文氏图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。4.集合问题常与函数,方程,不等式有关,其中字母系数的函数,方程,不等式要复杂一些,综合性较强,往往渗透数形思想和分类讨论思想。【例1】(1)集合A=x|x=2k,kZ,B=x|x=2k+1,kZ,C=x|
3、x=4k+1,kZ,又aA,bB,则一定有( )(A)a+bA (B)a+bB (C)a+bC (D)a+bA,B,C中的任何一个(2)记满足下列条件的函数f(x)的集合为M,当|x1|1,|x2|1时,|f(x2)f(x1)|4|x2x1|,若g(x)= x2+2x+1,则g(x)与集合M的关系( )(A)g(x)M (B)g(x)M (C)g(x)M (D)g(x)M(3)(2012年高考江西理)若集合A=-1,1,B=0,2,则集合zz=x+y,xA,yB中的元素的个数为()(A)5(B)4(C)3(D)2【例2】设A是数集,满足aAA,且1A。()若2A,求集合A;()A能否为单元数集
4、?若能,求出集合A,若不能,说明理由。【强化训练】【例3】若集合P=y|y=x2,xR,Q=y|y=x2+1,xR,则集合PQ=( )(A)P (B)Q (C) (D)无法确定【例4】含有三个元素的集合既可表示为a,1,也可表示为a2,a+b,0,试求a2005+b2004的值。【例5】集合M=x|x=+,kZ,N=x|x=+,kZ,则( )(A)M=N (B)MN (C)MN (D)MN=【例6】若非空集合A、B满足AB,则下列集合中为空集的是( )(A)AB (B)CUACUB (C)CUAB (D)ACUB【例7】已知集合M=(x,y)|x+y=2,N=(x,y)|xy=4,则集合MN=
5、( )(A)x=3,y=1(B)(3,1)(C)3,1(D)(3,1)【例8】(1)已知集合M=y|y=2x,N=y|y=,则MN=( )(A)y|y1 (B)y|y1 (C)y|y0 (D)y|y0(2)全集U=(x,y)|x,yR,A=(x,y)|=1,B=(x,y)|yx+1,则CU(AB)=_;(3)若全集U=R,f(x),g(x)均为x的二次函数,P=x|f(x)0,Q=x|g(x)0,则不等式组的解集可以利用P、Q表示为_。【强化训练】已知集合A=(x,y)|=a+1,集合B=(x,y)|(a21)x+(a1)y=30,若两集合满足AB=,试求实数a的值。【例9】已知A=x|x2a
6、x+a219=0,B=x|log2(x25x+8)=1,C=x|x2+2x8=0,若AB且AC,求a的值和集合A。【例10】(1)已知A=x|x5|10,B=x|x5|k且满足AB=B,求实数k的取值范围。(2)已知集合M=x|xa|2,N=x|1,则MN,求实数a的取值范围。(3)已知A=x|10+3xx20,B=x|x22x+2m0,若AB=B,求实数m的取值范围。(4)已知集合A=x|x2axxa,aR,B=x|2x+14,若AB=B,试确定a的取值范围。【强化训练】已知集合A=x|x3+2x2x20,B=x|x2+ax+b0,且AB=x|x+20,AB=x|1x3,求a,b的值。【例1
7、1】关于实数x的不等式|与x23(a+1)x+2(3a+1)0且aR的解集依次记为A和B,求使AB的实数a的取值范围。分析:(1)求出集合A、B;(2)由AB列出关于a的不等式组,从而求出a的取值范围。【点拨】分类讨论应做到:(1)起点的寻找;(2)层次的划分,分类时应做到既不重复,又不遗漏。【例1】已知集合A=(x,y)|x2+mxy+2=0,B=(x,y)|xy+1=0,0x2,若AB,求实数m的取值范围。【注释】集合问题与函数、方程和不等式以及与整个中学数学知识有关,要正确运用集合的思想将问题相互转化,特别是数与形、代数与几何之间的转化。【强化训练】集合A=(x,y)|y=a|x|,B=
8、x|y=x+a,若AB为单元素集合,试求实数a的取值范围。分析:。于是分情况与讨论。【例2】已知集合M=(x,y)|y=y0与N=(x,y)|y=x+a,若MN=,求实数a的取值范围。【强化训练】设A=(x,y)|x|1,|y|1与B=x|(xa)2+(ya)21,若满足AB,求实数a的取值范围。【例3】已知三集合A=(x,y)|x=n,y=an+b,nZ,B=(x,y)|x=m,y=3m2+15,mZ与集合C=(x,y)|x2+y2144,问是否存在实数a,b,使得:(1)AB;(2)(a,b)C同时成立?分析:假设存在a、b使得成立,得到a与b的关系后与x2+y2144联立,然后讨论联立的
9、不等式组。解法1:假设存在a、b使得AB成立,则集合A=(x,y)|x=n,y=an+b,nZ与B=(x,y)|x=m,y=3m2+15,mZ分别对应集合A1=(x,y)|y=ax+b,xZ与B1=(x,y)|y=3x2+15,xZ,于是两集合分别对应于直线与抛物线至少要有公共点,即方程组有解,于是消去y得3x2ax+15b=0,从而依据3x2ax+15b=0有解得=a212(15b)0,即a212b180(1)又a2+b2144(2),于是由(1)与(2)得(b6)20,即b=6,将b=6代入(1)得a2108,再将b=6代入(2)得a2108,于是可得a=6,于是将a=6与b=6代入方程3
10、x2+15=ax+b,得3x26x+9=0,解得x=Z,此与已知矛盾。故不存在实数a,b,使得:AB;(a,b)C同时成立。【点拨】(1)解法中“0”,仅是一个方程有解的必要条件,即0只能保证直线与抛物线有公共点,但这个公共点不一定是整数点,进而利用另一个条件可求得a、b不能使二曲线的交点为整数点,因此符合题意的a、b就不存在了。(2)凡涉及“是否存在”、“是否具有某种性质”等这一类的未定结论的讨论式探索性问题:假定结论成立,进而经过演绎推理,在推导过程中,若出现矛盾,即可否定假设,则问题的另一面成立;如果推导过程流畅,没有受阻,没有矛盾产生,一直推导符合已知的条件(定理、公理等),从而假设成
11、立。解法2:由AB,表示存在正整数n,使得an+b=3n2+15,(a,b)C,即有a2+b2144,因此原题等价于关于a、b的混合组是否有实数解。由(3n2+15)2=(an+b)2=n2a2+b2+2nab(n2a2+b2)+(a2+n2b2),于是依据a2+b2144,得(3n2+15)2144(1+n2),即(n23)20,从而得n=,与已知nZ矛盾。故不存在实数a,b,使得(1)AB;(a,b)C同时成立。解法3:假设存在a、b使得(1)AB;(a,b)C同时成立,则依题意,将y=an+b代入y=3m2+15得,an+b3m215=0,于是由m=n可知点(a,b)在直线nx+y3n2
12、15=0上,从而由原点到直线nx+y3n215=0的距离为d=+312(由nZ知等号不成立),即点(a,b)到集合C中圆心距离大于半径,故(a,b)C,与假设矛盾。故不存在实数a,b,使得(1)AB;(a,b)C同时成立。【点拨】此题不但可利用解析几何中直线与圆的有关知识解决,而且可利用三角代换解决。一、选择题1. 已知集合M=x|x=m+,mZ,N=x|x=,nZ,P=x|x=+,pZ,则M、N、P满足的关系是( )A. M=NP B. MN=P C. MNP D. NP=M【点击考点】考查描述法表示集合2. 设全集U=1,2,3,4,5,若集合S和P满足SP=2,CUSP=4,CUSCUP
13、=1,5,则( )A. 3S,3P B. 3S,3CUP C. 3CUS,3P D. 3CUS,3CUP【点击考点】考查交集与补集的运算3. 已知P=0,1,M=x|xP,则P与M的关系是( )A. PM B. PM C. PM D. PM【点击考点】考查集合与集合的关系4.集合P=x,1,Q=y,1,2,其中x,y1,2,9且PQ,把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点,这样的点的个数是( )A. 9 B. 14 C. 15 D. 21【点击考点】考查真子集与点集5. 若集合M=(x,y)|sinx|+|tany|=0,N=(x,y)|x2+y22,则MN中的元素的个数是( )个
14、A. 4 B. 5 C. 8 D. 9【点击考点】考查交集的运算二、填空题6. 已知集合M=x|x=a2+1,aN*,P=x|x=b24b+5,bN*,则M与P的关系是_。【点击考点】考查集合的表示法7. 已知a0b|a|,集合A=x|axb,B=x|bxa,则AB=_;AB=_。【点击考点】考查利用数轴进行数集运算8. 设A=x|x22x3=0,B=x|ax1=0,若AB=B,则所有满足条件的a的集合是_。【点击考点】考查交集的性质与方程的解集三、解答题9. 设集合A=x|2lgx=lg(8x15),xR,B=x|cos0,xR,求AB的元素的个数_。【点击考点】考查数集的综合运算10. 已
15、知集合A=x|x26x+80,B=x|x24ax+3a20。(1)若AB,求实数a的取值范围;(2)若AB=,求实数a的取值范围;(3)若AB=x|3x4,求实数a的取值范围。【点击考点】考查不等式的解集与数集的运算的综合问题1. 设集合A=x|4,B=x|m1x2m+1。(1)当xN时,求A的子集的个数;(2)当xR时且AB=时,求m的取值范围。2. 对于适合|p|2的任意一个实数,定义集合A=x|x2+px+12x+p,求所有这样的集合A的交集。3. 若M=x|1,N=x|1x2且NM,求实数a的取值范围。4. 已知集合A=x|x3+2x2x20,B=x|x2+ax+b0,且AB=x|x+20,AB=x|1x3,求a,b的值。5. 已知集合A=x|x23x+20,B=x|x2(a+1)x+a0。(1)若AB,求a的取值范围;(2)若BA,求a的取值范围;(3)若AB为单元素集,求a值。6. 若不等式|x|1成立时,不等式x22ax5xa25a40也成立,试确定实数a的取值范围。7. 已知A=x|x25x+40,B=x|x22ax+a+20,若AB=A,试确定实数a的取值范围。作套题,抓住知识点 详评讲,抓常规思维 仔细看,抓典型思维7
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