定积分之几何应用.ppt
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1、 第五节 定积分在几何上的应用 微元法 元素法 用定积分表示的量U必须具备三个特征 : 一 . 能用定积分表示的量所必须具备的特征 (3) 部分量 的近似值可表示为 二 .微元法 则U相应地分成许多部分量; 用定积分表示量U的基本步骤: (1) U是与一个变量 的变化区间a,b有关的量; (2) U 对于区间a,b具有可加性. 分成许多部分区间, 即如果把区间a,b (1)根据问题的具体情况,选取一个变量 例如 为积分变量,并确定其变化区 间a,b; (2) 在区间a,b内任取一个小区间 , 求出相应于这个小区间的部分量 的近似值. 在 处的值 与 的乘积, 就把 称为量U的微元且记作 , 即
2、 如果 能近似地表示为a,b上的一个连续函数 (3) 以所求量U的微元 为被积表达式, 在区间a,b上作定积分,得 平面图形的面积 一 直角坐标情形 1 . 曲边梯形 当 在a,b上连续时, 由曲线 和 及 轴 所围成的曲边梯形面积就是 2. 一般图形 以及两条直线x=a,x=b之间的图形的面积微元为 如果函数 在a,b上连续, 且 则介于两条曲线 则图形的面积为 注意:根据具体的图形特点,也 可以选择积分变量或者利用 图形的对称性简化计算. 例1 求椭圆的面积(如图). 解 由对称性,椭圆的面积 其中为椭圆在第一象限部分. x y o y x a b o xx+dx 则 例2 求由所围图形面
3、积. 解: 两抛物线的交点为(0,0)及(1,1). 取x为积分变量,其变化区间为 0,1.由前面讨论可知: (1,1) o y x 例3 求由所围图形面积. 解 : 两曲线的交点为(2,-2)及(8,4). 根据此图形特点,可以选择y作为积分变 量,其变化区间为-2,4.y x (2,-2) (8,4) 图形的面积微元为: 从而可得图形面积 二. 极坐标情形 1. 曲边扇形 其中r()在 ,上连续,且r()0. 相应于, +d的面积微元为 则图形面积为 o r=r() 设图形由曲线r=r()及射线=, =所围成. 取为积分变量,其变化区间为 , 2. 一般图形 及射线=, =所围图形的面积微
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- 积分 几何 应用
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