定积分的几何应用 和经济应用.ppt
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1、第五章 第六节 定积分的几何应用 (一) 平面图形的面积 1. 直角坐标情形 2.极坐标方程的情形 (二) 旋转体的体积 回顾:基本积分公式 1. 直角坐标情形 回顾 曲边梯形求面积的问题 a b x y o 面积表示为定积分的步骤如下: (3) 求和,得A的近似值 a b x y o (4) 求极限,得A的精确值 面积微元 注意: 仿此可得图1的面积: A y x=f(y) 图2的面积: (图1) (图2) 上曲线减下曲线对x积分。 y+dy x+dx (图3)的面积: x y=f(x) (图3) (图4) (图4)的面积: Ax=f(y) (图5) x=g(y) 右曲线减左曲线对y积分。
2、一般解题步骤: (1)画草图,定结构; (2)解必要的交点,定积分限; (3)选择适当公式,求出面积(定积分)。 注意:答案永远为正。 解两曲线的交点 选 为积分变量 解 先求两曲线的交点。 解法2 选 为积分变量 显然解法2简单! 选择合适的积分变量是重要的。 解设椭圆方程为 由对称性知,总面积等于第一象限部分面积的4倍 以x为积分变量,得 曲边扇形面积微元 曲边扇形的面积公式 2. 极坐标方程的情形 解 由对称性知,总面积=第一象限部分面积的4倍。 解利用对称性知,所求面积 为上半部的两倍, 圆柱圆锥圆台 二、旋转体的体积 旋转体由一个平面图形绕同平面内一条直 线旋转一周而成的立体这条直线
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