定积分的几何应用.ppt
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1、第六节 定积积分的几何应应用 引 从定积分的定义可知,定积分可以用于求解曲边 梯形的面积.那么定积分在几何上还有其它方面的应 用吗?定积分应用的一般方法和步骤是什么呢? 一、微元法 微元法也称微元分析法, 它是定积分应用的基础, 给出了用定积分方法解决各种求和问题的一般方法. 定积分作为一种数学方法, 研究的是某些量的计算问 题. 记所研究的量为 Q , 量 Q 如果符合下列条件: (1) Q 是与一个变量 x 的变化区间a, b有关的量; (2) Q 对于区间 a , b 具有可加性, 也就是说, 如 果把区间 a , b 分成许多部分区间, 则 Q 相应地分 成许多部分量, 而 Q 等于所
2、有部分量之和; (3) Q = dQ ( x ) + o ( x ). 则整体量 微元法或微元分析法遵循如下三个步骤: 第一步: 确定整体量 Q 的变化区间, 比如 Q ( x ) 的变化区间为 a , b . 第二步: 对具有可加性的 Q ( x ) , 考察增量 Q ( x ) , 如能写成 Q ( x) = dQ ( x ) + o ( x ) . 第三步: 求出整体量 Q , 即 由于第二步考证比较复杂, 在以后的讨论中, 一般 略去这一步. 二、平面图形的面积 由定积分的几何意义知, 在区间 a , b 上, 当 f ( x ) 0时, 由连续曲线 y = f ( x ) , 直线
3、x = a , x = b 与 x 轴 所围成的曲边梯形的面积为 其中被积表达式 f ( x ) dx 是 直角坐标系下的面积元素, 它 表示高为 f ( x ), 底为 dx 的 小矩形面积, 见图5-7. y = f (x) f (x) x y ax x + dx bO dA 一般地, 平面图形以连续曲线 y = f ( x )与 y = g ( x )为上下曲边的曲边形的面积元素为dA = f (x) g (x)dx.这样, 由 x = a , x = b , y = f ( x ) 和 y = g ( x ) 所 围图形( 如图5 8 ) 的面积为 y = f (x) x y a x
4、x + dx bO y = g (x) 类似地, 若平面图形由连续曲线 x = ( y ) 与 x = ( y ) 及直线 y = c , y = d 围成, 见图5 8 , 则其面积为 x = (y) x = (y) O x y c d y y + dy 例1 求由曲线 y = x 2 与 y = 2 x 2 所围成的平面 图形的面积. 解 解方程组 求得两抛物线的交点 为( 1 , 1 ) , ( 1 , 1 ) , 故所求平面图形 ( 如图5 10 ) 的面积为 (1, 1) (-1, 1) O x y 1-1 y = x 2 y = 2 - x 2 x x+dx 例2 求由抛物线 y
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- 积分 几何 应用
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