定积分的应用(ch10--sec1).ppt
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1、寄寄 语语 假舟楫者,非能水也,而绝江河。 假舆马者,非利足也,而致千里; -旬子 本章主要内容: 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用 定积分的应用 一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ? 解决问题方法: 定积分的元素法 表示为 一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的 2) U 对区间 a , b 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 定积分定义 一个整体量 ; 二 、如何应用定积分解决问题 ? 第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的 微分表达式 第二步
2、 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 积分表达式 这种分析方法成为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等 近似值 精确值 四、 旋转体的侧面积 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 第一部分 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线与直线 及 x 轴所围曲 则边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 例1. 计算两条抛物线在第一象限所围 所围图形的面积 . 解: 由 得交点 例2. 计算抛物线与直线 的面积 . 解: 由 得交点 所围图形 为简便计算,
3、 选取 y 作积分变量, 则有 例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积 例4. 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: 2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 对应 从 0 变例5. 计算阿基米德螺线 解: 点击图片任意处 播放开始或暂停 到 2 所围图形面积 . 例6. 计算心形线 所
4、围图形的 面积 . 解: (利用对称性) 即 点击图中任意点 动画开始或暂停 尖点: 面积: 弧长: 参数的几何意义 心形线(外摆线的一种) 例7. 计算心形线与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 例8. 求双纽线所围图形面积 . 解: 利用对称性 ,则所求面积为 思考: 用定积分表示该双纽线与圆 所围公共部分的面积 . 答案: 二、平面曲线的弧长 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即 并称此曲线弧为可求长的. 则称 定理 1: (1) 曲线弧C由直角坐标方程给出
5、: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 (2) 曲线弧由参数方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 因此所求弧长 则得 弧长元素(弧微分) : (自己验证) 例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 成悬链线 . 求这一段弧长 . 解: 下垂 悬链线方程为 例10. 求连续曲线段 解: 的弧长. 例11. 计算摆线一拱 的弧长 . 解: 例12. 求阿基米德螺线相应于 02 一段的弧长 . 解: 三、已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续, 特别
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