弹性力学基础应力应变.ppt
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1、第一讲第一讲 应力应力圆与空间应力圆与空间应力 q 空间问题的基本未知量与基本方程 q 物体内任一点的应力状态分析 q 空间问题的平衡微分方程 q 空间问题的几何方程和物理方程 q 空间轴对称问题的基本方程 主要内容主要内容 5.1 5.1 空间问题的基本未知量与方程空间问题的基本未知量与方程 什么空间问题? q 一维问题:一个基本坐 标变量,如杆件。是材料力 学的重点内容。 q 二维问题:二个基本坐 标变量,如平面问题。是本 课程的重点内容。 q 三维问题:三个基本坐 标变量,即空间问题。是本 课程需了解的内容。 空间问题的基本未知量与方程空间问题的基本未知量与方程 任何一个弹性体是空间物体
2、(坐标变量为x、y、z) ,外力为空间力系。实际的弹性力学问题都是空间问 题。 对于空间问题,在弹性体区域内,仍然要考虑静力 学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程 ;并在边界上建立应力边界条件或位移边界条件。 空间问题与平面问题具有相似性:基本未知数、基 本方程、边界条件和求解方法均是类似的。 q 空间问题的基本未知量与基本方程 q 物体内任一点的应力状态分析 q 空间问题的平衡微分方程 q 空间问题的几何方程和物理方程 q 空间轴对称问题的基本方程 主要内容主要内容 5.2 5.2 物体内任一点的应力状态分析物体内任一点的应力状态分析 1:求经过该点任何斜面上的应力p? 2:求经过
3、该点的任何斜面上的正应力sn和切应力tn ? 3:若经过该点的主应力s和应力主方向a ? 4:求经过该点的正应力sn和切应力tn 的最大和最小值? 一点应力状态分析:已知任一点处坐标面上的6 个应力分量,求解如下四个问题: 过一点任意斜面的全应力过一点任意斜面的全应力 问题1:已知任一点处坐标面上的6个应力分量,求经过该 点的任何斜面上的应力p? 取如图所示微分单元体PABC, 当平面ABC无限接近于P点时,该 平面上的应力即为所求应力p 。 根据该微分单元的力系平衡条件 ,在x、y和z轴方向上合力为0,从 而有: 过一点任意斜面的全应力过一点任意斜面的全应力 特殊情况下,若平面ABC是弹性
4、体上受面力作用的边界面,则应 力p就成为面力,于是由(72)式 可得出 : 上式就是空间问题的应力边界条件,它表明应力分量 的边界值与面力分量之间的关系。 过一点任意斜面的正应力与切应力过一点任意斜面的正应力与切应力 问题2:求经过该点的任何斜面上的正应力和切应力? 平面ABC上的正应力sn即为上 面所求的全应力p向法线方向n 的投影: 平面ABC上的切应力tn则由下 式求得: 过一点任意斜面的主应力与主方向过一点任意斜面的主应力与主方向 问题3:若经过该点的某一斜面上的切应力为0,求此斜面 上的主应力s和应力主方向a ? 设如图所示的斜面上切应力为0 ,则该面上的全应力等于正应力 ,也等于主
5、应力,于是有 又由于有 过一点任意斜面的主应力与主方向过一点任意斜面的主应力与主方向 从而有关于方向余弦l,m, n的线性方程组: 其有非零解的充要条件为系数行列式等于0,即 过一点任意斜面的主应力与主方向过一点任意斜面的主应力与主方向 其中: 主应力特征方程展开,得 : 过一点任意斜面的主应力与主方向过一点任意斜面的主应力与主方向 q主应力特征方程有三个实数根,s1,s2,s3分别表示这 三个根,代表某点三个主应力,从而确定弹性体内部任 意一点主应力。 q主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等 ,与坐标轴的选取无关。 qI1、I2、I3 分别称为应力张量的第一、第二和第三不变 量。
6、特征方程的根是确定的,即系数I1、I2、I3的值是不 随坐标轴的改变而变化的。 结合 l2+m2+n2=1 则可求主应力方向。 过一点任意斜面的主应力与方向 对于主应力方向,将s1,s2,s3分别代入 可以证明:三个主应力方向,是互相垂直的。 过一点任意斜面的应力极值过一点任意斜面的应力极值 弹性体内任意一点的最大正应力为s1,最小正应力为s 3 最大切应力可以通过主应力计算,等于(s 1-s3)/2 。 最大切应力作用平面也可以通过主应力方向得到,其作用 平面通过s 2 应力主方向,并且平分s 1和s 3应力主方向的 夹角(即45角)。 问题4、已知任一点处三个主应力( s1 s2 s3 )
7、,及其应力 主方向,可求得经过该点正应力、切应力的最大和最小值 例1:证明主应力是正应力的极值(极大或极小)。 解:为了计算方便,选三个主方向为坐标轴向,则有 sx= s1 , sy= s2 , sz= s3 , txy= tyz=txz= 0 设任意斜微分面的方向余弦为( l, m , n ),其上的全应 力为公式(72),正应力为公式(73),代入有 sn= s1 l2+s2m2+ s3n2 =s1 (s1- s2)m2- (s1- s3)n2 设三个主应力大小顺序为 s1 s2 s3 ,则正应力取极 大值条件: m=n=0, | l | =1, 即极大值为s1。 同理极小值为s3。 例
8、题例 题 例1:证明主应力是正应力的极值(极大或极小)。 解:为了计算方便,选三个主方向为坐标轴向,则有 sx= s1 , sy= s2 , sz= s3 , txy= tyz=txz= 0 设任意斜微分面的方向余弦为( l, m , n ),其正应力为 公式(73),代入有 sn= s1 l2+s2m2+ s3n2 =s1 (s1- s2)m2- (s1- s3)n2 设三个主应力大小顺序为 s1 s2 s3 ,则正应力取极 大值条件: m=n=0, | l | =1, 即极大值为s1。 同理极小值为s3。 例 题例 题 q 空间问题的基本未知量与基本方程 q 物体内任一点的应力状态分析 q
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- 弹性 力学 基础 应力 应变
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