《对面积的曲面积分.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《对面积的曲面积分.ppt(28页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算方法 具有连续 求质 量 M. 一、对面积的曲面积分的概念与性质 1.引例: 曲面形构件的质量 设曲面形构件占有空间光滑曲面 , 面密度为 解决的方法: (微积分方法) 大化小, 常代变, 近似和, 求极限. 2.定义 : 设 为光滑曲面, “乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分其中 f (x, y, z) 叫做被积 f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 函数, 叫做积分曲面.
2、其中, 表示 n 小块曲面的直径 的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 注: 1. 曲面形构件的质量为 3. 积分的存在性: 积的曲面积分存在. 在光滑曲面 上连续, 则对面 4. 封闭曲面积分记号 3.性质:(与对弧长的曲线积分性质类似) (1) 线性性 (2)对积分域的可加性 若 是分片光滑的, 例如分成两片光滑曲面 则有 (3) 曲面面积 (4) 不等式 (6) 估值 (7) 积分中值定理 (8) 对称性 例如: 二、对面积的曲面积分的计算方法 设有光滑曲面定理: f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分 存在, 且有 证明: 由定义知 而 (光滑) 说明: 可有
3、类似的公式. 1) 如果曲面方程为 2) 若曲面为参数方程, 则只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 就可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分. 计算曲面积分 其中是球面 被平面截出的顶部. 例33.1. 解: 思考: 若 是球面被平行平面 z =h 截 出的上下两部分, 则 计算其中 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 上的部分, 则 与 原式 = 分别表示 在平面 例33.2. 例33.3. 设 计算 解: 锥面与上半球面 交线为 为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的 投影域为则 思考: 若例33.3 中被积函数改为 计算结果如何 ? 求半径为R 的均匀
4、半球壳 的重心 . 解: 设 的方程为 利用对称性可知重心的坐标而 用球坐标 思考题: 例 33.3 是否可用球面坐标计算 ? 例33.4. 计算 解: 取球面坐标系, 则 例33.5. 计算其中 是球面 利用对称性可知 解: 显然球心为半径为 利用重心公式 例33.6. 计算其中 是介于平面 之间的圆柱面 分析: 若将曲面分为前后(或左右) 则 解: 取曲面面积元素 两片, 则计算较繁. 例33.7. 求椭圆柱面 位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S . 解: 取 例33.8. 例33.9. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km
5、, 运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径 R = 6400 km ) 解: 建立坐标系如图, 覆盖曲面 的 半顶角为 , 利用球坐标系, 则 卫星覆盖面积为 故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为 由以上结果可知, 卫星覆盖了地球 以上的面积, 故使用三颗相隔 角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球 全表面. 说明: 此题也可用二重积分求 A . 三内容小结 1. 定义: 2. 计算: 设则 (曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式 简化计算的技巧. 已知曲面壳 求此曲面壳在平面 z1以上部分 的 的面密度 质量 M . 解: 在 xoy 面上的投影为 故 备用题 例 33.10. 设 是四面体 面, 计算 解: 在四面体的四个面上 同上 平面方程投影域 例 33.11.
链接地址:https://www.31doc.com/p-2248393.html