对面积的曲面积分的概念与性质.ppt
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1、第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 第十章 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 量 M. 其中, 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义: 设 为光滑曲面, “乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f (x, y
2、, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 函数, 叫做积分曲面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性. 则有 线性性质. 在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 上连续, 存在, 且有 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 证明: 由定义知 机动 目录
3、上页 下页 返回 结束 而 (光滑) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 可有类似的公式. 1) 如果曲面方程为 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分. (见本节后面的例4, 例5) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算曲面积分其中是球面 被平面截出的顶部. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 若 是球面被平行平面 z =h 截 出的上下两部分, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算其中 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 上的部分, 则 与 原式 = 分
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- 面积 曲面 积分 概念 性质
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