测量平差第02章A.ppt
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1、第 2 章 地图的数学基础(2) 1 高斯克吕格投影 2 坐标系和高程系 3 地图定向 4 数字地图制图中主要坐标关系介绍,第一节 高斯克吕格投影 我国现行的大于1:50万比例尺的各种地形图,都采用高斯克吕格(GaussKruger)投影。 一、投影的基本概念 从地图投影的变形性质来说,高斯-克吕格投影是属于等角投影。该投影没有角度变形。 从几何概念来分析,高斯-克吕格投影是一种横切椭圆柱投影。它是假想一个椭圆柱横套在地球椭球体上,使其与某一条经线相切,用解析法将椭球面上的经纬线投影到椭圆柱面,然后将椭圆柱展开成平面,即获得投影后的图形,其中的经纬线互相垂直。 高斯-克吕格投影的平面直角坐标系
2、,是以相切的经线(中央经线)的投影为X轴,以赤道的投影为Y轴(图3-4)。,高斯-克吕格投影的基本条件为: 中央经线(椭圆柱和椭球体的切线)的投影为直线,而且是投影的对称轴; 投影后没有角度变形,即同一地点各方向的长度比不变(或两微分线段所组成的角度在投影中保持不变); 中央经线上没有长度变形。,根据上述三个条件,即可导出高斯-克吕格投影的直角坐标基本公式(32),建立平面直角坐标(x,y)与地理坐标(,)之间的函数关系。其关系式为:,= 投影点 - 中央经线,二、投影的变形分析 高斯-克吕格投影没有角度变形,面积变形是通过长度变形来表达的。其长度变形的基本公式为(33):,由公式(33)可知
3、长度变形的规律是: 中央经线上没有长度变形,即 = 0, = 1; 沿纬线方向,离中央经线越远变形越大,即增大, 也增大; (为实际投影地点与中央经线间的经差) 沿经线方向,纬度越低变形越大,即越小,越大。 表33说明,整个投影变形最大的部位在赤道和投影最外一条经线的交点上(纬度为0经差为3时,长度变形为1.38),当投影带增大时,该项误差还会继续增加。这就是采取分带投影的原因。,由此可见,在低纬度和中纬度区,其投影误差显得大了一些,该投影比较适用于纬度较高的国家。所以,目前世界上许多国家采用与高斯-克吕格投影相近的通用横轴墨卡托(UTM)投影。这种投影主要差别在于,假想椭圆柱同地球椭球体是相
4、割的,这时,中央经线的长度比小于1,产生一个负变形区(中央经线缩小了0.4),整个投影的变形情况就得到了改善。,通用横轴墨卡托(Universal Transverse Mercator, UTM)投影:高斯投影在中央子午线上乘以比例因子0.9996. 高斯投影为等角横轴切椭圆柱投影 也称横轴墨卡托(Transverse Mercator, TM) 投影 UTM为等角横轴割椭圆柱投影,三、投影分带的规定 为了控制投影变形不致于过大,高斯-克吕格投影采用分带投影的方法。 我国的1:2.5万-1:50万地形图均采用6分带投影,1:1万及更大比例尺地形图采用3分带投影,以保证地图有必要的精度。 6分
5、带法:从格林尼治零度经线起,每6为一个投影带,全球共分60个投影带(图35)。 东半球的30个投影带,是从0起算往东划分,即东经0-6,6-12,174-180,用阿拉伯数字1-30予以标记,各投影带的中央经线位置可用(34)式计算(式中n为投影带带号): L0 = ( 6 n - 3 ) (34),西半球的30个投影带,是从180起算,回到0,即西经180-174,174-168,6-0,各带的带号为31-60,各投影带中央经线的位置,可用式(35)计算(式中n为投影带带号): L0 = ( 6 n - 3 ) - 360 (35) 我国领土位于东经72-136之间,共包括11个投影带,即1
6、323带,各带的中央经线分别为75,81135(图35)。,3分带法:从东经130算起,每3为一带,将全球划分为120个投影带,即东经130-430,430-730,东经17830西经17830,西经130至东经130。其中央经线的位置分别为3,6,9,180,西经177,3,0。这样分带的目的在于使6带的中央经线均为3带的中央经线。即3带中有半数的中央经线同6带重合,在从3带转换成6带时,可以直接转用,不需任何计算。 由于高斯-克吕格投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值。所以,各带的坐标完全相同。使用时,只需在横坐标(通用值)之前加上带号即可。因此,计算一个带的坐标值,制成表格,
7、就可供查取各投影带的坐标时使用。,四、坐 标 网 为了制作地图和使用地图方便,通常在地图上都绘有一种或两种坐标网,即经纬线网和方里网。 经纬线网:即指由经线和纬线所构成的坐标网,又称地理坐标网。 经纬线网在制图上的意义,在于绘制地图时不仅起到控制作用,确定地球表面上各点和整个地形的实地位置,而且还是计算和分析投影变形所必须的,因而,也是确定比例尺,量测距离、角度和面积所不可缺少的。 在1:1万-1:25万比例尺的地形图上,经纬线只以图廓线的形式直接表现出来,并在图角处注出相应度数。为了方便用图时加密成网。在内外图廓间还绘有加密经纬网的加密分划短线(图式中称“分度带”),必要时对应短线相连就可以
8、构成加密的经纬线网。1:25万地形图上,除内图廓上绘有经纬网的加密分划外,图内还有加密用的十字线。,我国的1:50万。1:100万地形图,在图面上直接绘出经纬线网。内图廓上也有供加密经纬线网的加密分划短线。 方里网:是由平行于投影坐标轴的两组平行线所构成的方格网。因为是每隔整公里(其密度规定见表34)绘出坐标纵线和坐标横线,所以称之为方里网,由于方里线同时又是平行于直角坐标轴的坐标网线,故又称直角坐标网。 直角坐标系以中央经线投影后的直线为X轴,以赤道投影后的直线为Y轴,它们的交点为坐标原点。 我国位于北半球,全部X值都是正值。在每个投影带中则有一半的Y坐标值为负。为了避免Y坐标出现负值,规定
9、纵坐标轴向西平移500km(半个投影带的最大宽度不超过500km)。这样,全部坐标值都表现为正值了。地图上注出的Y坐标值,就是根据“高斯-克吕格投影坐标表”上查取的y值加上500km后的所谓通用坐标值(图36)。 我国规定在1:1万1:25万地图上必须绘出方里网,其方里网密度如表34。,邻带坐标网:由于高斯-克吕格投影的经线是向本投影带中央经线收敛的,过每一个点的经线方向和坐标线构成一定的夹角,这个夹角随纬度和经差的不同而变化(如图37a中经线与坐标线的夹角随纬度增高而加大)。当处于相邻两带的相邻图幅拼接使用时,两图图面上绘出的直角坐标网就不能统一相接,而形成一个折角(图37b),这就给拼接使
10、用地图带来不便。例如,欲量算位于相邻两带的两图幅上A、B两点的距离和方位,在坐标网不统一时就不可能。 为了解决相邻带图幅拼接使用的困难,规定在一定的范围内把邻带的坐标延伸到本带的图幅上,这就使某些图幅上有两个方里网系统,一个是本带的,一个是邻带的。为了区别,图面上都以本带方里网为主,邻带方里网系统只在图廓线以外绘出一小段,需要使用时才连绘出来。,据1:2.5万-1:10万地形图图式(1971年版)规定,每个投影带西边最外一行1:10万地形图的范围(即经差30)内包含的1:10万、1:5万、1:2.5万地形图均需要加绘西部邻带的方里网;每个投影带东部员外的一行1:5万地形图(经差15)和一行1:
11、2.5万地形图(经差7.5)的图面上也需要加绘东邻带的方里网(图38),这样,每两个投影带的相接部分(45的范围)都应该有1行1:10万,3行1:5万,5行1:2.5万地形图的图面上需绘出邻带方里网。,邻带图幅拼接使用时,可将邻带方里网连绘出来,就相当于把邻带的坐标系统延伸到本带来,使相邻两幅图具有统一的直角坐标系统(图39)。 邻带方里网加绘的实质就是将投影带的范围扩大,即西带向东带延伸30投影,东带向西带延伸15(7.5)投影。这样,每个投影带计算的范围不是6,而是645,这时东带中最西边的30范围内的图幅,既有东带的坐标,又有西带的坐标(图310)。在展绘地形图的坐标网时,这一个范围内的
12、图幅,除了按东带坐标展绘图廓和方里网之外,还需要按西带坐标展出邻带方里网。同样,东带的延伸也是如此。,高斯投影坐标与地理经纬度的换算(高斯坐标正、反算) 高斯投影正、反算函数 54年北京坐标系,6度带宽,适用于1:50万-1:2.5万地形图投影坐标计算 由经纬度(单位:DD)反算大地坐标(含带号,单位:Metres) void GaussProjCal(double longitude, double latitude, double *X, double *Y); 由大地坐标(含带号,单位:Metres)反算经纬度(单位:DD) void GaussProjInvCal(double X,
13、double Y, double *longitude, double *latitude);,我国的地形图以高斯-克吕格投影为基准投影 1:50万、1:25万、1:10万、1:5万、1:2.5万、1:1万、1:5000均采用高斯投影。其中1:1万和1:5000采用3带投影,1:50万、1:25万、1:10万、1:5万、1:2.5万采用6带。 1:100万则采用双纬线等角圆锥投影,第二节 坐标系和高程系 地面点或空间目标位置需由三维数据来决定,即由确定平面(球面)位置的坐标系和确定空间高度的高程系来定位。 一、坐 标 系 坐标系的种类很多,但与地图测绘密切相关的有地理坐标系和平面坐标系等。,1
14、地理坐标系 地理坐标系的构成:地面点的地理坐标是由经度和纬度构成。 经纬度主要是通过天文测量、大地测量和卫星定位的方法来测定的。,经纬度具有深刻的地理意义。它标示物体在地面上的位置,显示其地理方位(经线与东西相应,纬线与南北相应),表示时差。此外,经纬线还标示许多地理现象所处的地理带,如气候、土壤及地理学科的其他部门,都要利用经纬度来推断重要的和有益的地理规律等。 地理坐标系 世界各国差不多都有自己国家的坐标系,这里列出一些主要国家的坐标系供参考(表31)。,我国的大地坐标系,包括过去使用的“1954年北京坐标系”和现用的“1980国家大地坐标系”两种。 1954年北京坐标系:新中国成立前,我
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