方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-4.ppt
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1、1,第四章 最优回归设计,2,实际中,有时试验者根据一些先验知识知道真实模型的类型,例如线性模型、二次线性模型、指数模型等等,但其中有一些未知参数待估。,最优回归设计目标,式中,函数 f 形式已知, 为参数。,安排试验使得模型的参数得以最准确的估计,3,例4.1. (例2.1 续). 在该工业试验中,设因素温度的范围为50oC, 90oC。根据先验知识,试验者知道响应值y 与因素温度x 之间的模型为二次线性模型 y = 0 + 1 x +2 x2 +. 若试验次数为15,如何安排试验? 最优准则如何确定?,4.1 信息矩阵和最优准则,4,A. 信息矩阵,模型 y = G + 式中 矩阵G 称为
2、广义设计矩阵,信息矩阵为:,M = GG/n,5,连续设计与确定性设计,在试验区域X 中的一个设计可以表为 试验总数:n = n1 + + nm,也可表为概率分布,并称为确定性设计 一般的,连续设计如下:(wi 不一定为1/n的倍数),6,标准化方差,在线性回归模型 y = G + 中,任一点 x 的响应预测值为 该无偏估计的方差为: 标准化方差,7,E(y) =0+1x, x 1, 1, 设试验点为 x1, , xn, 则信息矩阵为 且,例4.2. 一元线性回归模型,8,单因素试验的几个简单的设计,则,9,例4.3. (例4.1 续) 二次线性模型,设试验点为 x1, , xn , 则信息矩
3、阵为,由此,若采用表4.2 中设计II,可得设计II 的标准化方差为,因此,在设计点1,0 或1 上标准化方差达到最大值3.,10,表4.2 中各设计的结果,11,B. 最优准则,记连续设计 的信息矩阵为 最常见的最优准则为 D-, A- 和 E-准则,分别如下,最小化上述准则的设计分别称为D-, A- 和E-最优设计。,12,统计意义,D-最优设计:最小化参数 的置信椭球的体积 A-最优设计:最小化最小二乘估计 的平均方差值 E-最优设计:使得单位向量与参数 的线性组合的最大方差最小化,13,统一框架,设信息矩阵 M 的特征值为1 p,显然,D-, A- 和E-最优准则对应的k 值分别为 k
4、 = 0, 1 和。,14,例4.4. (例4.2 续),一元线性模型等价于模型 该模型的信息矩阵为 因此, D-最优设计为最大化 的设计, 例如,15,4.2 等价性定理,定理4.1 若 为凸函数,且一阶可微,且在全体设计集 中所有点可微,记 (x, ) = F(,x) 则下面等价 是-最优设计; 对于任意 x X,(x, ) 0; (x, ) 在 的每个设计点 x 上取到最小值,且 (x, ) = 0。,注:等价性定理只适用于连续设计。,16,D-最优设计,Kiefer (1975) 证明了当 D-最优的定义修改为如下时, D(M() = log |M()|, 可得 (x, ) = p d
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