第1章时域离散信号和.ppt
《第1章时域离散信号和.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第1章时域离散信号和.ppt(126页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、第1章 时域离散信号和时域离散系统,1.1 引言 1.2 时域离散信号 1.3 时域离散系统 1.4 时域离散系统的输入输出描述法 线性常系数差分方程 1.5 模拟信号数字处理方法,1.1 引言,信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量,则称为一维信号;如果有两个以上的自变量,则称为多维信号。本书仅研究一维数字信号处理的理论与技术。关于信号的自变量,有多种形式,可以是时间、距离、温度、电压等,本书一般地把信号看作时间的函数。,本章作为全书的基础,主要学习时域离散信号的表示方法和典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性,以及系统的输入输出描述法,线性常系数差分方程的解法。最后介
2、绍模拟信号数字处理方法。,1.2 时域离散信号,对模拟信号xa(t)进行等间隔采样,采样间隔为T,得到 其中抽样频率Fs=1/T,单位:周期每秒。,离散时间信号的表示: 1. x(n)表示一个离散时间信号(或序列),n取整数,取值范围: -n。当n为某个具体值时,表示序列的一个样本值。 2、枚举法表示序列 x(n)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1 3、图形表示 4、公式,Matlab: x k=1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,3,序列的基本知识点,1.实序列和复序列 例如: 2.离散时间信号分有限长序列和无限长序列 (1)x(n),N1nN2,序列长度:N=?
3、(2)补零或零填充:通过加入零值样本来延长序列的运算 (3)无限长序列分:左边序列、右边序列和双边序列,理由:复杂信号常常是表示成基本信号的线性组合后再进行分析。是信号分析的基础。 1. 单位采样序列(n) 它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数(t),但不同的是(t)在t=0时,取值无穷大,t0时取值为零,对时间t的积分为1。单位采样序列和单位冲激信号如图1.2.1所示。,1.2.1 常用的典型序列,图1.2.1单位采样序列和单位冲激信号 (a)单位采样序列; (b)单位冲激信号,2. 单位阶跃序列u(n) 单位阶跃序列如图1.2.2所示。(n)与u(n)之间的关系如下式所示: (n)=u(
4、n)-u(n-1),图1.2.2 单位阶跃序列,3. 矩形序列RN(n) 1, 0nN-1 0, 其它n (1.2.8) 上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时,R4(n)的波形如图1.2.3所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示,如下式: RN(n)=u(n)-u(n-N) (1.2.9),RN(n)=,图1.2.3 矩形序列,4. 实指数序列 x(n)=anu(n), a为实数 如果|a|1,则称为发散序列。其波形如图1.2.4所示。,图1.2.4 实指数序列,5. 实正弦序列 x(n)=Acos(0n+) 式中称为正弦序列的数字域频率,单位是弧度,它表示序列变化的速率,或者说表示相邻两个序列
5、值之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的,那么 xa(t)=sin(t) xa (t)|t=nT=sin(nT) x(n)=sin(n),因为在数值上,序列值与采样信号值相等,因此得到数字频率与模拟角频率之间的关系为 =T (1.2.10) (1.2.10)式具有普遍意义,它表示凡是由模拟信号采样得到的序列,模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数,也可以表示成下式:,(1.2.11),6. 复指数序列 x(n)=e(+j0)n 式中0为数字域频率,设=0,用极坐标和实部虚部表示如下式: x(n)=e j0n x(n)=cos(0n)
6、+jsin(0n) 由于n取整数,下面等式成立: e j(0+2M)n= e j0n, M=0,1,2,7. 周期序列 如果对所有n存在一个最小的正整数N,使下面等式成立: x(n)=x(n+N), -n (1.2.12) 则称序列x(n)为周期性序列,周期为N,注意N要取整数。例如: 上式中,数字频率是/4,由于n取整数,可以写成下式:,上式表明 是周期为8的周期序列,也称正弦序列,如图1.2.5所示。下面讨论一般正弦序列的周期性。 设 x(n)=Asin(0n+) 那么 x(n+N) =Asin(0(n+N)+)=Asin(0n+0N+) 如果 x(n+N)=x(n),图1.2.5 正弦序
7、列,则要求N=(2/0)k,式中k与N均取整数,且k的取值要保证N是最小的正整数,满足这些条件,正弦序列才是以N为周期的周期序列。具体正弦序列有以下三种情况: (1)当2/ 0为整数时,k=1,正弦序列是以2/ 0为周期的周期序列。例如sin(/8)n, 0 =/8,2/ 0 =16,该正弦序列周期为16。,(2) 2/ 0不是整数,是一个有理数时,设2/ 0 =P/Q,式中P、Q是互为素数的整数,取k=Q,那么N=P,则正弦序列是以P为周期的周期序列。例如sin(4/5)n, 0 =(4/5),2/ 0 =5/2,k=2,该正弦序列是以5为周期的周期序列。 (3)2/ 0是无理数,任何整数k
8、都不能使N为正整数,因此,此时的正弦序列不是周期序列。例如, 0 =1/4,sin(0 n)即不是周期序列。对于复指数序列ej0 n的周期性也有同样的分析结果。,正弦序列例子,例 试确定余弦序列xn = cosw0n 当(a) w0=0 (b) w0=0.1p (c) w0=0.2p (d) w0=0.8p (e) w0=0.9p (f) w0=p 时的基本周期。,解: (a) w0 /2p= 0/1, N=1。 (b) w0 /2p=0.1/2=1/20, N=20。 (c) w0 /2p=0.2/2=1/10, N=10。 (d) w0 /2p=0.8/2=2/5, N=5。 (e) w0
9、 /2p=0.9/2=9/20, N=20。 (f) w0 /2p=1/2, N=2。,xn = cosw0 n ,w0=0.2p,xn = cosw0 n , w0=0.8p,xn = cosw0 n , w0=p,xn = cosw0 n , w0=0,当w0从p增加到2p时,余弦序列幅度的变化将会逐渐变慢。,即两个余弦序列的角频率相差2p的整数倍时, 所表示的是同一个序列。,cos(2p-w0 )n= cos(w0 n),w0 在p 附近的余弦序列是 高频信号。 w0 0或2p 附近的余弦序列是 低频信号。,用matlab产生序列,matlab中常用来产生信号的函数:exp, sin,
10、cos, square, sawtooth exam21:复指数序列的产生 exam22:实指数序列的产生,以上介绍了几种常用的典型序列,对于任意序列,常用单位采样序列的移位加权和表示,即,(1.2.13),式中,(n-m)=,1, n=m 0,nm,这种任意序列的表示方法,在信号分析中是一个很有用的公式。例如:x(n)的波形如图1.2.6所示,可以用(1.2.13)式表示成: x(n)=-2(n+2)+0.5(n+1)+2(n)+(n-1)+1.5(n-2)-(n-4)+2(n-5)+(n-6),图1.2.6 用单位采样序列移位加权和表示序列,1.2.2 序列的运算 在数字信号处理中,序列有
11、下面几种运算,它们是乘法、加法、移位、翻转及尺度变换。多数情况下,特定的离散时间系统就是由一些基本运算组成的。 1.乘法和加法 序列之间的乘法和加法,是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和相加。积运算也称为调制。 积运算的一个应用:根据一个无限长序列产生一个有限长序列。如有限长序列为窗函数,运算过程称为加窗。,图1.2.7 序列的加法和乘法,如果进行积、加运算的两个序列长度不一样,可通过补零填充来解决。,2. 移位、翻转,图1.2.8 序列的移位、翻转,3.序列的抽取与插值,* 序列的抽取:指将原来的序列每隔M个样点保留 一个样点,去掉其中的M-1个样点 形成的新序列。,y(n)=x(Mn),*
12、 序列的插值:指在原来序列的每两个样点之间等 间隔的插入L个新的样点,从而变成 一个具有更多样点的新序列。,分解过程如下:,1.3 时域离散系统,功能:对一个给定的输入序列进行处理得到一个输出序列。设时域离散系统的输入为x(n),经过规定的运算,系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T表示,输出与输入之间关系用下式表示: y(n)=Tx(n) (1.3.1) 其框图如图1.3.1所示。,图1.3.1 时域离散系统,离散时间系统通常称为数字滤波器。,例1:M点滑动平均滤波器。 这种系统通常用于平滑数据中的随机噪声。若信号s(n)在n0时被噪声d(n)污染,其观察数据为x(n)=s(n)+d(n
13、)。假定未污染的原始信号为:s(n)=2n(0.9)n exam23:产生相关的信号 exam24:通过滑动平均滤波器平滑信号 观察图形,有延时,M点滑动平均滤波器的延时为(M-1)/2,1.3.1 线性系统 :最广泛使用的一种离散时间系统。 满足叠加原理的系统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列,其输 出分别用y1(n)和y2(n)表示,即 y1(n)=Tx1(n),y2(n)=Tx2(n) 那么线性系统一定满足下面两个公式: T x1(n)+x2(n)= y1(n)+y2(n) (1.3.2) Ta x1(n)=ay1(n) (1.3.3),满足(1.3.2)式称为
14、线性系统的可加性;满足(1.3.3)式称为线性系统的比列性或齐次性,式中a是常数。将以上两个公式结合起来,可表示成: y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ay1(n)+by2(n) (1.3.4) 上式中,a和b均是常数。,例1.3.1 证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数),所代表的系统是非线性系统。 证明 y1(n)=Tx1(n)=ax1(n)+b y2(n)=Tx2(n)=ax2(n)+b y(n)=Tx1(n)+x2(n)=ax1(n)+ax2(n)+b y(n)y1(n)+y2(n) 因此,该系统不是线性系统。用同样方法可以证明 所代表的系统是线性系统。 ,1.3.2 时不
15、变系统 如果系统对输入信号的运算关系T在整个运算过程中不随时间变化,或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关,则这种系统称为时不变系统,用公式表示如下: y(n)=Tx(n) y(n-n0)=Tx(n-n0) (1.3.5),例1.3.2检查y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时不变系统,上式中a和b是常数。 解 y(n)=ax(n)+b y(n-n0)=ax(n- n0)+b y(n- n0)=Tx(n- n0) 因此该系统是时不变系统。,例1.3.3检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。 解 y(n)=nx(n) y(n-n0)=(n- n0)x(n- n0
16、) Tx(n- n0)=nx(n- n0) y(n- n0)Tx(n- n0) 因此该系统不是时不变系统。同样方法可以证明 所代表的系统不是时不变系统。,1.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系 设系统的输入x(n)=(n),系统输出y(n)的初始状态为零,定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应,用h(n)表示。换句话说,单位取样响应即是系统对于(n)的零状态响应。用公式表示为 h(n)=T(n) (1.3.6) h(n)和模拟系统中的h(t)单位冲激响应相类似,都代表系统的时域特征。 设系统的输入用x(n)表示,按照(1.2.13)式表示成单位采样序列移位加权和为,例: x(n)
17、=-2(n+2)+0.5(n+1)+2(n)+(n-1)+1.5(n-2)-(n-4)+2(n-5)+(n-6),计算该信号通过线性时不变系统h(n)的响应。,根据线性系统的叠加性质,又根据时不变性质,(1.3.7),例1.3.4设x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求y(n)=x(n)*h(n)。 解 按照(1.3.7)式, 上式中矩形序列长度为4,求解上式主要是根据矩形序列的非零值区间确定求和的上、下限,R4(m)的非零值区间为:0m3, R4(n-m)的非零值区间为:0n-m3,其乘积值的非零区间,要求m同时满足下面两个不等式:,0m3 n-3mn 因此,,当,当,卷积过程以及y
18、(n)波形如图1.3.2所示,y(n)用公式表示为 n+1 0n3 y(n)= 7-n 4n6 0 其它,图1.3.2 例1.3.4线性卷积,(1) 教学任务,(1) 教学任务,例:已知x1n * x2n= yn,试求y1n= x1n-k * x2n-m。,结论: y1n= yn-(m+k),例:xn 非零范围为 N1 n N2 , hn 的非零范围为 N3 n N4 求: yn=xn* hn的非零范围。,结论:N1+N3 n N4+N2,卷积中主要运算是翻转、移位、相乘和相加,这类卷积称为序列的线性卷积。设两序列分别的长度是N和M,线性卷积后的序列长度为(N+M-1)。线性卷积服从交换律、结
19、合律和分配律。它们分别用公式表示如下: x(n)*h(n)=h(n)*x(n) (1.3.8) x(n)*h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n) (1.3.9) x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) (1.3.10),图1.3.3 卷积的结合律和分配律,例1.3.5在图1.3.4中,h1(n)系统与h2(n)系统级联,设 x(n)=u(n) h1(n)=(n)-(n-4) h2(n)=anu(n), |a|1 求系统的输出y(n)。,图1.3.4 例1.3.5框图,解先求第一级的输出m(n),再求y(n)。 m(n)=x(n)*h1(
20、n) =u(n)*(n)-(n-4) =u(n)*(n)-u(n)*(n-4) =u(n)-u(n-4) =R4(n) y(n)=m(n)*h2(n) =R4(n)*anu(n),=anu(n)*(n)+(n-1)+(n-2)+(n-3) =anu(n)+a n-1 u(n-1)+a n-2 u(n-2)+a n-3 u(n-3) 还可以将y(n)用下式表示 y(n)=(n)+(1+a)(n-1)+(1+a+a2)(n-2)+ u(n-3),在Matlab中,函数c=conv(a,b)实现了两个有限长序列a和b的卷积和运算,得到有限长序列c. exam25:两个有限长序列的卷积和,信号的相关,
21、实际应用中,有时需要将一个 或多个信号与参考信号做比较,确定每对信号之间的相似性并根据相似性提取额外的信息。 例如:数字通信中 例如:雷达和声纳应用中 序列x(n)和y(n)的相似性度量用rxy(l)表示,其中l表示延时。可正可负。下标xy表示x(n)为参考序列,y(n)做平移。,序列x(n)的自相关序列为: 用Matlab进行相关计算。x(n)=1 3 -2 1 2 -1 4 4 2,y(n)=2 -1 4 1 -2 3。求两序列的互相关序列 exam27. 说明: (1)利用exam27求自相关序列。 (2)令y(n)=x(n-4),求互相关; (3)对x(n)加随机噪声,rand,求自相
22、关。 (4)matlab中函数xcorr可以用来计算相关。,1.3.4系统的因果性和稳定性 如果系统n时刻的输出,只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列,而和n时刻以后的输入序列无关,则称该系统具有因果性质,或称该系统为因果系统。如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列,在时间上违背了因果性,系统无法实现,则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。 线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式: h(n)=0, n0 (1.3.13),满足(1.3.13)式的序列称为因果序列,因此因果系统的单位取样响应必然是因果序列。因果性系统的条件(1.3.13)
23、式从概念上也容易理解,因为单位取样响应是输入为(n)的零状态响应,在n=0时刻以前即n0时,没有加入信号,输出只能等于零,因此得到因果性条件(1.3.13)式。,图1.3.5 非因果系统的延时实现,所谓稳定系统,是指系统有界输入,系统输出也是有界的。系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和,用公式表示为,(1.3.14),证明 先证明充分性。,因为输入序列x(n)有界,即 |x(n)|B,-n, B为任意常数 如果系统的单位取样响应h(n)满足(1.3.14)式,那么输出y(n)一定也是有界的,即 |y(n)|,下面用反证法证明其必要性。如果h(n)不满足(1.3.14)式,即 ,那
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 时域 离散 信号
链接地址:https://www.31doc.com/p-2251753.html